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\begin{minipage}[t]{3.8cm}
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\end{minipage} \ \
\begin{minipage}[t]{12.3cm}

{\bf Nummer 25  \hfill Oktober  1999 } 

%\vspace{-6mm}
\vspace{4mm}

\tableofcontents

\end{minipage}

%\vspace{5mm}


\newpage
Werbeseite der Fa. Texas Instruments

\newpage
\pagestyle{plain}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Mitteilungen der Sprecher                                   %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{-15mm}
\Abschnitt{Mitteilungen der Sprecher}{Mitteilungen der Sprecher}{mitt_sprecher}

{\em
\noindent
                                                                              


Liebe Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra,

am 4.~Oktober kam die Fachgruppenleitung in Heidelberg zusammen, um \"{u}ber
aktuelle Themen zur F\"{o}rderung der Computeralgebra in Deutschland zu 
diskutieren. Eines der wichtigsten Themen, das uns schon lange in der Fachgruppenleitung
besch\"{a}ftigt, war dabei die Entwicklung der Computeralgebra an den Schulen. Aus diesem 
Grund hatte die Fachgruppenleitung einen Vertreter aus dem Schulbereich, 
Herrn Knechtel, als Fachexperten in dieser Wahlperiode gewonnen. Wir verweisen auf seinen 
Artikel \"{u}ber den Einsatz von Computeralgebra in Schulen der BRD in diesem Heft. Wie es 
bei unseren Nachbarn in den Niederlanden dazu aussieht, zeigt ein zweiter Artikel. Nachdem 
die Fachgruppenleitung - federf\"{u}hrend waren die Kollegen Kerber und Koepf - im letzten Jahr in 
Schloss Thurnau eine Tagung zum Thema {\em Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung}
organisiert hat, wird sie auch im n\"{a}chsten Jahr eine Tagung mit der 
gleichen Zielsetzung in Thurnau durchf\"{u}hren.  
Die Entwicklung der Computeralgebra an Schulen wird auch weiterhin von uns als Fachgruppenleitung 
verfolgt und mit Aktivit\"{a}ten unterst\"{u}tzt werden.

Das Benchmarking ist ebenfalls ein Thema, das uns schon lange besch\"{a}ftigt. Wir 
haben inzwischen in unserem Kreis einen Vertreter, Prof.~Dr.~Greuel, gefunden, der 
sich als Referent daf\"{u}r einsetzt. Neben den Aktivit\"{a}ten von Herrn Dr.~Kredel
zum Thema Benchmarking, \"{u}ber die an dieser Stelle in vorangegangenen Heften 
schon berichtet wurde, ist jetzt ein Projekt mit dem Schwerpunkt ``polynomiale Systeme''
entstanden. Das Zusammenf\"{u}hren der vorhandenen Aktivit\"{a}ten und das Einbringen
von Knowhow aus anderen Gebieten wird eine unserer Aufgaben in der n\"{a}chsten Zeit sein.

In der Physik wurden schon fr\"{u}h Computeralgebra-Systeme entwickelt und eingesetzt.
Eines f\"{u}hrte zu dem diesj\"{a}hrigen Nobelpreis in Physik, vgl. den Beitrag in 
diesem Heft. In der Fachgruppenleitung wurden wir von Prof.~Dr.~Hehl auf aktuelle
Entwicklungen in der Physik informiert. Er hat uns als Fachexperte in den vergangenen 
Wahlperioden beraten. Jetzt ist er zur\"{u}ckgetreten. Anla\ss{} dazu ist ein bevorstehender 
l\"{a}ngerer Auslandsaufenthalt. An dieser Stelle m\"{o}chten wir ihm im Namen der
ganzen Fachgruppe herzlich f\"{u}r sein Engagement und seinen Rat danken.  
 
Zur Regel geworden ist die Sektion Computeralgebra auf der Jahrestagung der DMV. 
In diesem Jahr fand sie in Mainz statt. Die Computeralgebra war durch einen Hauptvortrag
von Bernd Sturmfels und eine eigene Sektion vertreten. Diese wurde von den Kollegen 
Pfister und Plesken geleitet und hatte einen relativ guten Zuspruch. Auch f\"{u}r die
DMV 2000 in Dresden ist eine Sektion Computeralgebra geplant. Auch bei der n\"{a}chsten 
Jahrestagung der GAMM wird die Computeralgebra eine eigene Sektion haben. Sie wird geleitet 
von Prof.~Dr.~Greuel. Hinweise auf weitere Tagungen finden Sie auf den folgenden Seiten. 
Besonders m\"{o}chten wir dabei auf das Computeralgebra-Symposium an der FH Konstanz hinweisen, 
das von der Fachgruppenleitung durch das Entsenden von Referenten gef\"{o}rdert wird.



\vspace*{3mm}

 \begin{flushright}
H. Michael M\"{o}ller \hspace{2cm} M.~Pohst
 \end{flushright}                                                                              

}

%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Konferenzen                                                 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Abschnitt{Hinweise auf Konferenzen}{Hinweise auf Konferenzen}{hinwkonf}


\begin{enumerate}   

\input{../Konfhinw/konfhinw.tex}

\end{enumerate}

%\vspace*{5mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Berichte von Konferenzen                                    %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\Abschnitt{Berichte von Konferenzen}{Berichte von Konferenzen}{berkonf}

\begin{enumerate}

% \konfhinwitem{GAMM-Jahrestagung}{Metz, Frankreich, 12.4. -- 16.4.1999}

% Rump ?


\konfhinwitem{CASC-99 The Second Workshop on \ca\ in Scientific Computing}{M"unchen, 31.5. -- 4.6.1999}

{\footnotesize
\noindent Dies ist der 2. Workshop der CASC-Serie. Weitere Informationen dazu auf der URL:\\
\URL{http://www14.informatik.tu-muenchen.de/konferenzen/CASC99/}\\



\noindent Richard Liska: {\it Where Numerics can Benefit from Computer Algebra in Finite Difference Modelling of Fluid Flows},
Anders Eriksson, Yunhua Luo, Costin Pacoste: {\it Computer Algebra Investigation of Equivalence in 4-node Plane Stress/Strain Finite Elements}, 
Michel Fourni\'{e}: {\it Symbolic derivation of Different Class of High Order
Compact Schemes for Partial Differential Equations},
V.G. Ganzha, E.V. Vorozhtsov: {\it Implementation of Aerodynamic Computations 
with Mathematica},
Vladimir P. Gerdt, Vladimir V. Kornyak, Matthias Berth, G\"unter Czichowski: {\it Construction of Involutive Monomial Sets for Different Involutive 
Divisions},
Vladimir P. Gerdt: {\it Completion of Linear Differential Systems to Involution},
Gerd Baumann: {\it Solution of Ordinary Differential Equations with MathLie},
Yves A. Papegay: {\it From Modeling to Simulation with Symbolic Computation: 
An Application to Design and Performance Analysis of Complex Optical Device},
Tim Wichmann, Ralf Popp, Walter Hartong, Lars Hedrich: {\it On the Simplification of Nonlinear DAE Systems in Analog Circuit Design},
Vladimir F. Kovalev: {\it Computer Algebra Tools in Construction of Renormgroup Symmetries},
Gerrit Handrich: {\it Quantization by Presentation: The Nambu-Goto String
in $1 + 3$ Dimensions},


\noindent Brian J. Dup\'{e}e, James H. Davenport: {\it An Automatic Symbolic-Numeric Taylor Series ODE Solver},
Radu Zapotinschi: {\it Symbolic Analysus of Computational Algorithms with 
SYDNA},
W. Govaerts, Yu. A. Juznetsov, B. Sijnave: {\it Bifurcations of Maps in the 
Software Package CONTENT},
A.N. Prokopenya, N.I. Chochits, R. Kragler (short talk): {\it Simulation of 
Forces in Classical Mechanics},
Hans J. Stetter: {\it Posynomials with Coefficients of Limited Accuracy},
Joachim von zur Gathen, Jaime Gutierrez, Rosario Rubio: {\it On Multivariate
 Polynomial Decompositon},
Alexii Yu. Uteshev: {\it Localization of Roots of a Polynomial Not Represented
 in Canonical Form},
Rainer Steinwandt: {\it Decomposing Systems of Polynomial Equations},
Nikolay Vasiliev: {\it Complexity of Momomial Evaluations and Duality},
M. Cafaro, B. Paternoster: {\it Analysis of Stability of Rational Approximations Through Computer Algebra},
Sergey Gutnik: {\it Symbolic-numeric Investigations for Stability Analysis of 
Satellite Systems},
Vladimir V. Kornyak: {\it Cohomology of Lie Suberalgebras of Hamiltonian Vector Fields: Computer Analysis},
R. Gonz\'{a}lez-D\'{i}az, P. Real: {\it Computing Cocycles on Simplicial Complexes},
Werner M. Seiler (Invited lecture): {\it Indices and Solvability for General
 Systems of Differential Equations},
V. Y. Pan, A. Zheng, M. Abu Tabanjeh, Z. Chen, S. Providence: {\it Superfast Computations with Singular Structured Matrices over Abstract Fields},
fA.N. Prokopenya, N.I. Chochits, R. Kragler (short talk): {\it Simulation of 
Forces in Classical Mechanics},
Gaston H. Gonnet, Allan Bonadio (Invited lecture): {\it Partial Inverse
 Heuristic for the Approximate Solution of Non-linear Equations},
Vladimir P. Gerdt, Soso A. Gogilidze: {\it Constrained Hamiltonian Systems and Gr\"obner Bases},
Victor F. Edneral: {\it About Normal Form Method},
Eugenio Roanes-Lozano, E. Roanes-Mac\'{i}nas, L.M. Laita: {\it Geometric 
Interpretation of Strong Inconsistency in Knowledge Based Systems},
Christoph Richard, Andreas Weber: {\it A Symbolic Numeric Environment for 
Analyzing Measurement data in Multi-Model Settings},
Manfred G\"ober, Wolfgang K\"uchin, Stefan M\"uller, Andreas Weber: {\it 
Extending a Java Based Framework for Scientific Software-Components},
Yoshio Uwano, Nikolai Chekanov, Vitaly Rostovtsev, Sergue Vinitsky: {\it 
On Normalization of a Class of Polynomial Hamiltonians: From Ordinary and 
Inverse Points of View.}

}

\begin{flushright}
Volker Weispfenning (Passau)
\end{flushright}

\konfhinwitem{1999 IMACS -- Conference on Applications of Computer Algebra}{El Escorial (near Madrid), Spain, 24.6. -- 27.6.1999}


{\footnotesize
\noindent N\"aheres zu der Tagung und der IMACS-ACA-Serie, sowie Electronic Proceedings auf der URL:
\URL{http://math.unm.edu/aca.html}\\
\noindent {\bf Session: Computer Algebra Meets Education I / Bernhard Kutzler}\\
\noindent Bernhard Kutzler: {\it Setting the Tone: CAS as pedagogical tools},
Josef Boehm: {\it Basic Skills versus Technology .. not a Contradiction but
 a Completion},
Gary A. Harris: {\it The Use of Mathematics Specific Technology in Capstone 
Mathematics Teacher Preparation Courses},
Justo Cabezas, Eugenio Roanes-Lozano: {\it Some Reflections About the Impact 
of Computer Algebra Systems in the Ordering of the Curricula of Mathematics},
Bill Pletsch: {\it A Computer Classroom Lecture: Asymptotic Convergence of
 Rational Functions},
Vlasta Kokol-Voljc: {\it Exam questions when using CAS for school mathematics 
teaching},
Michel Beaudin: {\it Using the TI-92Plus: Examples},
Bengt Ahlander: {\it Why use CAS with TI89 in mathematical education? 
Classrooms experiments}
Garry Clark, Edward Redden: {\it Using Logo as a Scaffolding ot Develop 
Algebraic Thinking in a Virtual Classroom},
Miguel de Guzman: {\it Discovery Experiences in Synthetic Geometry with DERIVE},
E. Roanes-Macias, E. Roanes-Lozano: {\it About how to implement Geometric 
Transformations on a CAS},
Tenoch E. Cedillo A.: {\it A number-based approach to introductory algebra: A 
study with 11-12 year olds using graphic calculators},
Badr Defouad: {\it Instrumentation processes underlying the use of TI92
at high school level},
A. Cavallone, C. D'Apice, M. Marsella, S. Salerno: {\it A didactical
 laboratory: image filtering}

\noindent {\bf Session: Approximate Algebraic Computation : towards Symbolic-Numeric Algorithms / Tateaki Sasaki, Matu-Tarow Noda, Bernard Mourrain, Robert 
Corless}\\
\noindent Jean-Michel Muller, Vincent Lefevre: {\it New results on the Table Maker's Dilemma},
Hans Stetter: {\it Polynomial Algebra with Coefficients of Limited Accuracy},
Hiroshi Sekigawa: {\it A System of Automatic Algorithm Stabilization},
Hiroshi Kai: {\it To Be Announced},
Victor Y. Pan: {\it To be announced},
Tateaki Sasaki: {\it Mechanism of Cancellation Errors in Multivariate Hensel
 Construction with Floating-point Numbers},
A. Fronville: {\it Exacts predicates for arrangement of arcs of circle},
d. Rupprecht: {\it Approximate p-adic CGD computation},
B. Mourrain: {\it Towards numerical stability in normal form algorithms},
Matu T. Noda: {\it Hybrid Rational Function Approximation and its Applications},
M. Giesbrecht: {\it Approximate polynomial decomposition},
B. Trager, P. Gianni: {\it On approximate ideals}\\
$hjkhjklhlh$
\noindent {\bf Session: Combinational and Computational Methods in Algebraic Geometry/ Jie-Tai Yu, Vladimir Shpilrain}\\
\noindent Josef Schicho: {\it The Parameterization Problem for Algebraic Surfaces},
Jaime Gutierrez, Rosario Rubio: {\it Computing subfields in pure trascendental extensions},
Lenny Makar-Limanov: {\it Again $x + x^{2}y + z^{2} + t^{3} = 0$},
Vladimir Shpilrain: {\it Invariants of algebraic varieties}

\noindent {\bf Session: Toric Ideals and Integer Programming/ Lorenzo
 Robbiano}\\
\noindent Lorenzo Robbiano: {\it Computing Toric Ideals},
Anna Bigatti: {\it New algorithms for Computing Toric Ideals},
Raymond Hemmecke: {\it Decomposing Graver Test Sets in Stochastic Programming},
Serkan Hosten: {\it Initial Ideals of Toric Ideals and Group Relaxations in 
Integer Programming}


\noindent {\bf Session: Computer Algebra for Dynamical Systems and 
Mechanics I/ Victor Edneral, Ilias Kotsireas, Nikolay Vasiliev}\\
\noindent Victor Edneral: {\it Computer Algebraic Approximations--Creation of Approximated Solutions of Scientific and Engineering Problems in Symbolic Form},
A.V. Banshchikov, L.A. Bourlakova, V.D. Irtegov: {\it solving the problem of stabilization of a gyroscopic system with the help of Computer Algebra},
L.A. Bourlakova, V.D. Irtegov: {\it About investigation of systems with first 
integrals}
J. Palaci\'{a}n, P. Yanguas: {\it Analytical Approach for Simplifying 
Dynamical Systems of Polynomial Type},
A. Abad, A. Gavin, J.F. San-Juan: {\it Communications of the Poisson Series 
Processors PSPC with General Scientific Software},
Raya Khanin, Matthew Cartmell: {\it Parallelisation of Perturbation Analysis: 
the method of Multiple Scales applied to vibration problems},
Jean-Charles Faugere: {\it Some computational experiment in Celestial Mechanics},
G. Carra Ferro: {\it Some remarks on differential Hilbert polynomials in two 
variables},
G. Carra Ferro, Vladimir Gerdt: {\it Extended Characteristic Sets of Finitely
 Generated Differential Ideals},
Alexander Aranson: {\it Enumeration of intersections of Newton's polyhedrons},
G. Eichenmueller: {\it symbolic Computation of Formal Solutions for 2 and 3 
Dimensional Dynamical Systems},
Driss Boularas: {\it A new classification of planar homogeneous quadratic 
systems},
J. Mikram, F. Zinoun: {\it Computation of Normal Forms of Hamiltonian systms
in the Presence of Poisson Commuting integrals (Liouville-Integrability and 
Birkhoff Normal Forms)}

\noindent {\bf Session : Applications of Computer Algebra to Signal Processing/ Jeremy Jonson, Markus Pueschel}\\
\noindent Hyungju Park: {\it Minimal Syzygies and Multidimensional Filter Design},
Markus Pueschel: {\it Group Representations and Automatic Derivation of Fast
 Signal Transforms},
Dan Rockmore: {\it A Wreath Product Approach to Signal and Image Processing},
Ivan Selesnick:  {\it Groebner Bases and Wavelet Design},
Jean-Charles Faugere, Fabrice Rouillier: {\it To be announced},
Jeremy Johnson: {\it To be announced}



\noindent {\bf Session:  Computer Algebra Meets Education II / Bernhard Kutzler}\\
\noindent Frank Postel, Ralf Hillebrand: {\it A Tutorial Mathematical System 
for Elementary Schools},
Jim Schultz: {\it High-Powered Technology in a Low-Level Mathematics Course},
Rein Prank: {\it A Scheme for Conservative Use of Computer Algebra},
G Albano, A. Cavallone, C. D'Apice, G. Gargiulo: {\it Mathematica and 
didactical innovation: a quadric use case},
A. Kehagias, P.N. Vlachos: {\it Computer Aided Instruction for Business Calculus in an International Liberal Arts College},
Ralf Hillebrand, Frank Postel: {\it Flexible Mathematical GUI Controls for 
Mathematical Electronical Documents},
May C. Abboud: {\it Mathematica in Undergraduate Mathematics Courses-- A 
Teaching or Learning Aid?},
Marilo Lopez Gonzalez, Javier Rodrigo Hitos: {\it Searching roots for three 
degree polynomials with the help of Mathematica},
Joseph D. Myers, Kelley B. Mohrmann, Terry T. Crow: {\it Derivations and 
Visualizations for the Hydrogen Atom},
Alain Moussiaux: {\it CONVODE: A Reduce package for solving differential 
equations},
Paolo Boieri: {\it Exploring sequences with DERIVE}

\noindent {\bf Session: Teaching of Efficient Mathematics/ A. Akritas, Gennadi Malaschonok}\\
\noindent Rafael J. Villanueva Mico, A. Hervas: {\it A project of Computer Aided Learning: A course of Computer},
Juan A. Aledom, Juan C. Cortes, Fernando L. Pelayo: {\it A study of particular 
methods for the approximate construction of some regular polygons by using 
Mathematica 3.0}

\noindent {\bf Session: Computer Aided Geometric Design and Computer 
Algebra/ L. Gonzalez-Vega, J.R. Sendra}\\
\noindent Tomas Recio: {\it Missing points and branches of real parametric curves},
Andres Iglesias, Akemi Galvez: {\it Applying general-purpose symbolic and 
numerical computation programs for Computer Graphics and CAGD. Some applications
 to industry},
Josef Schicho: {\it Proper Parametrization of Real Algebraic Surfaces},
Jesus Espinola, Laureano Gonzalez-Vega, Ioana Necula: {\it An algorithm for 
approximate conversion of rational B-spline curves/surfaces and its 
implementation},
Lorenzo Robbiano: {\it Groebner Bases and Statistics}

\noindent {\bf Session: Demos of Computer Algebra Systems/ Michael Wester, Winfried Neun}\\
\noindent Michael Wester: {\it Some Perspectives on the Usability of Computer 
Algebra Systems},
Michel Beaudin: {\it Solving a RLC Circuit Convolution with DERIVE for Windows},
Lorenzo Robbiano: {\it The Computer Algebra System CoCoA},
Volker Weispfenning: {\it The REDLOG Package--Tools and Applications},
Ralf Hillebrand, Frank Postel: {\it MuPAD--An Open Computer Algebra System and 
its Approach of Software Integration},
Carlos Enriguez Turi\~{n}o: {\it Computer Algebra Applied to Mathematical 
Cartography}

\noindent {\bf Session: Applications of Computer Algebra To Robotics/ Peter Kovacs}\\
\noindent Jean-Pierre Merlet: {\it Forward kinematics of parallel robots},
Jean-Charles Faugere, Luc Rolland, Fabrice Rouillier: {\it Using Computer 
algebra tools for off-line studies of parallel manipulators},
Manfred Husty, Adolf Karger: {\it Self-Motions of Griffis-Duffy Type Parallel 
Manipulators},
Peter Kovacs: {\it Functional Ideal Decomposition--a Tool for Kinematics}

\noindent {\bf Session: Symbolic-Numeric Interface and Problem Solving 
Environments I/ Richard Liska, Stanly Steinberg, Robert van Engelen}\\
\noindent Richard Liska: {\it Finite Difference Numerical Modelling Supported by Computer Algebra},
Robert van Engelen: {\it Ctadel: A Computer Algebra System for the Generation
 of Efficient Numerical Codes for PDEs},
Ravi Venkatesan: {\it Invariant Variational Principles and Associated Numerical
 Schemes for Regularization of III-Posed Problems}


\noindent {\bf Session: Symbolic-Numeric Interface and Problem Solving 
Environments II/ Richard Liska, Stanly Steinberg, Robert van Engelen}\\
\noindent Ravi C. Venkatesan: {\it Group Invariant Finite-Difference Schemes for Advection Equation},
Michel Fournie:  {\it Usefulness of computer algebra methods in numerical simulations},
Brian J. Dupee, James H. Davenport: {\it Prototyping Symbolic-Numeric Algorithms
 using Naglink},
Massimo Cafaro, Beatrice Paternoster: {\it A symbolic-numerical package for 
linear stability analysis of numerical methods for ODEs},
Christoph Richard, Andreas Weber: {\it A Symbolic Numeric Environment for 
Analyzing Measurement Data in Multi-Model Settings},
Terence Etchells:  {\it Extraction of Low Order Boolean Rules from Trained 
Neural Networks using a Computer Algebra System}

\noindent {\bf Session: Computer Algebra for Dynamical Systems and 
Mechanics II/ Victor Edneral, Ilias Kotsireas, Nikolay Vasiliev}\\
\noindent Ilias Kotsireas: {\it Computational aspects of the N-body problem},
B. Elmabsout, M. Barbosu: {\it The study by symbolic of the sign of the 
riemannian curvature in the configuration space of the 3-body problem and
applications},
Antonio Elipe, Andr\'{e} Deprit: {\it Oscillators in Resonance},
Nikolay Vasiliev: {\it Construction of Invariants of Simplectic Mapping},
Rodney Coleman: {\it Some properties of the symplectic Lie algebra}


\noindent {\bf Session: Interaction on Physics, Number Theory and Computer
Science I/ Hoang Ngoc Minh}\\
\noindent M. Bigotte: {\it Colored multiple zeta values relations table},
D. Bradley: {\it Nested Sums and Iterated Integrals}

\noindent {\bf Session: Computer Algebra in the Spanish Educational System}\\
\noindent Justo Cabezas Corchero: {\it Aparicion de nuevos contenidos 
curriculares en matematicas mediante la aplicacion de nuevas tecnologias},
Tomas Recio:  {\it Las herramientas euclideas y el ordenador},
Agustin Carrillo: {\it Diferentes opciones para la resolucion de problemas con
 calculadoras graficas},
Lola Rodriguez Soalleiro: {\it Cambios curriculares en la ense\~{n}anza del 
Algebra},
Eugnio Roanes Macias, Eugenio Roanes Lozano: {\it Busqueda automatica de lugares
geometricos},
Rafael Perez Gomez, Miguel Posadas: {\it Matematicas en Pantalla}

\noindent {\bf Session: Computations in Pure Mathematics (Algebra, Analysis, Geometry, $\ldots$/ Maria-Emilia Alonso, Francisco Castro, Laureano Gonzalez-Vega}\\
\noindent V. Alvarez, J.A. Armario, P. Real: {\it Homology of semidirect product of groups},
M.J. Jimenez, P. Real, B. Silva:  {\it Analyzing the transference of the coalgebra structure on the homology of CDGAs},
Rocio Gonzalez-Diaz, Pedro Real:  {\it Steenrod reduced powers and computability},
L.M. Camacho, J.R. Gomez, R.M. Navarro:   {\it The use of Mathematica for the 
classification of some nilpotent Lie algebras},
J.C. Benjumea, F.J. Echarte, D. Fernandez, M.C. Marquez, J. Nu\~{n}ez, F. Ramirez: {\it New ways of defining filiform Lie algebras},
Maribel Hartillo: {\it About an algorithm of T. Oaku},
Jose Maria Ucha: {\it Slopes in submodules of a free module},
P. Pison-Casares, A. Vigneron-Tenorio: {\it Computing Toric first Syzygies},
F. Orecchia: {\it The ideal generation conjecture for s general rational curves},
A. Montes: {\it Basic Algorithms for Specialization in Groebner Bases},
Bill Pletsch:{\it The Generation of Polya Polynomials using Macsyma, with Applications},
Bernard Mourrain: {\it Duality in Effective Algebraic Geometry},
F. Gaeta: {\it A Fast Computation of Hook Schur Functions} 


\noindent {\bf Session: Teaching of Efficient Mathematics}\\
\noindent Juan A. Aledo, Juan C. Cortes, Fernando L. Pelayo: {\it A comparative study between two general methods for the approximate construction of regular polygons by using Mathematica 3.0},
Alkiviadis Akritas, Stelios Kapranidis, Athina Katalifou: {\it Possibilities 
for Alternative Uses of the ``Calculus and Mathematica'' Approach},
Alkiviadis Akritas, Zamir Bavel: {\it Classical Mathematics with Mathematica},
Alkiviadis Akritas, Zamir Bavel: {\it Calculus and the Race Track Principle},
David J. Jeffrey: {\it Some elementary mathematics revisite and revised},
Igor Gachkov, Kenneth Hulth: {\it Teaching Error-Correcting Codes, Discrete
Mathematics and Modern Algebra with Computer Algebra},
Gennadi Malaschonok, Natalia Malaschonok: {\it Teaching of efficient mathematics},
Gennadi Malaschonok: {\it Efficient methods of mathematical analysis}

\noindent {\bf Session: Mathematics on the Internet/ Angel Diaz, Erich Kaltofen}\\
\noindent Olgea Caprotti: {\it Interfacing Proof Checkers With OpenMath},
Mike Dewar: {\it Plug and Play Mathematical Components},
Angel L. Diaz: {\it To be announced},
Dave Raggett: {\it Mathematics on the Web--Past, Present and Future},
Murray Sargent: {\it Unicode Encoding of Mathematics},
Stephen Watt: {\it Stylesheets for Mathematical Web Pages},
Andreas Weber: {\it Accessing Quantifier Elimination Packages Over the Internet
 Out of General Purpose Systems},
Erich Kaltofen: {\it Concluding Discussion of the Issues Addressed in the Talks
 (Moderator with Audience Participation)}

\noindent {\bf Session: Applications of Quantifier Elimination/ Volker 
Weispfenning, Hoon Hong}\\
\noindent Hirokazu Anai, Shinji Hara: {\it A Robust Control system Design by a Special Quantifier Elimination Method using a Sturm-Habicht Sequence},
Laureano Gonzalez-Vega, Neila Gonzalez-Campos: {\it A Special Quantifier Elimination Algorithm for Pham Systems},
David J. Jeffrey: {\it A new solution of the quartic problem: with application ot integration},
Gerardo Lafferriere, George J. Pappas, Sergio Yovine: {\it Reach Set Computation
 for Linear Vector Fields using quantifier Elimination},
Petru Pau, Josef Schicho: {\it Quantifier Elimination for Trigonometric Polynomials by Cylindrical Trigonometric Decomposition},
Stanly Steinberg: {\it The Study of Stability using Computer Algebra},
Volker Weispfenning: {\it Semilinear motion planning in REDLOG}


\noindent {\bf Session: Interaction on Physics, Number Theory and 
Computer Science II/ Hoang Ngoc Minh}\\
\noindent Hoang Ngoc Minh: {\it Functional Equations on Polylogarithms with 
Axiom},
Mike Hoffman: {\it Algebraic Structures on the Set of Multiple Zeta Values},
N. Imafuji:  {\it Computer aided Knot Theory using Mathematica and MathLink},
G. Jacob: {\it Combinatorics on Algebraic Identification},
M. Ochiai: {\it Computational Construction of representation matrices for parallel version polynomial invariants},
Y. Sakata: {\it Computational Decomposition of homeomorphisms into canonical
 Dehn's twists},
Z. Wojtkowiak: {\it On l-adic iterated integral}

}


\begin{flushright}
Volker Weispfenning (Passau)
\end{flushright}

\newpage
\konfhinwitem{ISSAC'99 -- International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation}{Vancouver, British Columbia, Canada, 28.7. -- 31.7.1999}

{\footnotesize
\noindent N\"aheres zu der Tagung und der ISSAC-Serie auf der URL:\\
\URL{http://www.cecm.sfu.ca/ISSAC99/}.\\ 
\noindent Vor der eigentlichen Tagung fanden wie \"ublich am 28.07.99 Tutorials statt.\\ 
\noindent {\bf Tutorial 1}, Robert M. Corless and Lawrence F. Shampine, {\it Numerical
 Solution of Differential Equations in a Computer Algebra Environment} 

\noindent {\bf Tutorial 2}, Fr\'{e}d\'{e}ric Chyzak, {\it Symbolic Manipulation, Summation
 and Integration of Special Functions and Combinatorial Sequences -- The Holonomic Approach}

\noindent Ferner ein Workshop zu {\underline ``Internet Accessible Mathematical Computation''} organisiert von P. Wang und N. Kajler. Vortr\"age des Workshops:\\ \\
\noindent {\bf Contributed Papers I: Theme: ``Mathematics on the Internet''}
Steve Linton, Andrew Solomon:{\it GAP, OpenMath, and MCP}, Richard Fateman: {\it Analysis of a Web Interface for Mathematics: Experiences with Integral Queries for TILU}, Xiao Gang: {\it WIMS: A Server for Interactive Mathematics on the Internet}, Marc Giusti: {\it About MEDICIS}, Olga Caprotti: {\it Interactive
 mathematics with Strong OpenMath}

\noindent {\bf Contributed Papers II: Theme: ``IAMC Support''}\\
\noindent Andreas Weber, Wolfgang K\"uchlin: {\it A Framework for Internet Accessible 
Software Components for Scientific Computing}, Richard Zippel: {\it The MathBus}, Arthur Norman: {\it Synchronization of Distributed Development Software}, Ralf
 Hillebrand: {\it Flexible Mathematical GUI Controls for Mathematical Electronical Documents}\\ \\
\underline{{\bf Vortr\"age der Haupttagung}}\\
\noindent {\bf Session 1: Polynomial Systems}\\
\noindent M. Giusti, E. Schost: {\it Solving overdetermined polynomial systems},
M. Elkadi, B. Mourrain: {\it A new algorithm for the geometric decomposition of a variety},
C. Andradas, T. Recio, J.R. Sendra: {\it Base field restriction techniques for parametric curves},
S. Moritsugu, K. Kuriyama: {\it On Multiple Zeros of Systems of Algebraic Equation.}

\noindent {\bf Session 2: Non-commutativity Problems}\\
\noindent J.J. Wavrik: {\it Commutativity Theorems. Examples in Search of Algorithms},
W.A. de Graaf, J. Wisliceny:  {\it Construction bases of finitely presented Lie algebras using Gr\"obner bases in free algebras},
G.P. Brunick, L.S. Heath, C.A. Struble, E.L. Green:  {\it Efficient Construction of Drinfel'd Doubles}

\noindent {\bf Invited Talk 1}\\
\noindent Jonathan M. Borwein: {\it Experimental Mathematics and Exact Computation}

\noindent {\bf Session 3: Polynomials}\\
\noindent V. Shoup: {\it Efficient Computation of Minimal Polynomials in 
Algebraic Extensions of Finete Fields},
E. Kaltofen, M.B. Monogan: {\it On the Genericity of the Modular Polynomial
 GCD Algorithm},
Z. Zilic, K. Radecka: {\it On Feasible Multivariate Polynomial Interpolations
 over Arbitrary Fields}

\noindent {\bf Session 4: Seminumerical Algorithms}\\
\noindent V. Kislenkov, M. Mitrofanov, E. Zima: {\it How fast can we compute products?},
J. von zur Gathen, M. N\"ocker: {\it Computing Special Powers in Finite 
Fields},
S. Bratus, I. Pak: {\it On sampling generating sets of finite groups and
 product replacement algorithm}

\noindent {\bf Session 5: Asymptotics and Series Expansions}\\
\noindent J. Shackell: {\it Star Product and the Representation of Asymptotic 
Growth},
C.J. Rust, G.J. Reid, A.D. Wittkopf: {\it Existence and Uniqueness Theorems
 for Formal Solutions of Analytic Differential Systems},
Y.O. Macutan: {\it formal Solutions of Scalar Singularly Perturbed Linear Differential Equations},
C.-P. Jeannerod, E. Pfl\"ugel: {\it A Reduction Algorithm for Matrices Depending on a Parameter}

\noindent {\bf Session 6: Quantifier Elimination}\\
\noindent V. Weispfenning: {\it Mixed Real-Integer Linear Quantifier Elimination},
C.W. Brown: {\it Guaranteed Solution Formula Construction},
S. McCallum: {\it A Note about Projection in the Presence of an Equational Constraint},
A. Dolzmann, T. Sturm: {\it P-adic Constraint Solving}

\noindent {\bf Invited Talk 2}
\noindent Michael F. Singer: {\it Galois Theory of Difference Equations}

\noindent {\bf Session 7: Linear Algebra}\\
\noindent S.P. Tsarev: {\it On factorization of nonlinear ordinary differential equations},
G.Chen, J. Della Dora: {\it Rational Normal Form of Dynamical Systems by Carleman Linearization},
M. Bronstein, A. Fredet: {\it Solving linear differential equations over
 $C(x,xp(int(f(x)dx)))$}

\noindent {\bf Session 8: Linear Algebra}\\
\noindent T. Mulders, A. Storjohann: {\it Diophantine Linear System Solving},
B. Beckermann, G. Labahn, G. Villard: {\it Shifted Normal Forms of 
Polynomial Matrices},
J. Abbot, M. Bronstein, T. Mulders: {\it Fast Deterministic Computation
 of Determinants of Dense Matrices}

\noindent {\bf Session 9: Symbolic-Numerics}\\
\noindent M.A. Hitz, E. Kaltofen, Y.N. Lakshman: {\it Efficient Algorithms for 
Computing the Nearest Polynomial with a Real Root and Related Problems},
R.M. Corless, M.W. Giesbrecht, D.J. Jeffrey, S.M. Watt: {\it Approximate 
Polynomial Decomposition},
D. Villard, M.B. Monagan: {\it ADrien: an implementation of Automatic 
Differentiation in Maple}

\noindent {\bf Session 10: System Issues}\\
\noindent N.J. Doye: {\it Automated Coercion for Axiom},
L. Bernardin, B. Char, E. Kaltofen: {\it Symbolic Computation in Java: An 
Appraisement},
L. Lamben, V. Pascual, J. Rubio: {\it Specifying Implementations},
A.A. Adams, H. Gottliebsen, S.A. Linton, U. Martin: {\it Automated theorem proving in support of computer algebra: symbolic definite integration as a case
 study}

\noindent {\bf Invited Talk 3}\\
\noindent Bernd Sturmfels: {\it Gr\"obner Deformations of Hypergeometric 
Differential Equations}

\noindent {\bf Session 11: Differential and Difference Equations II}\\
\noindent D. Boucher: {\it About the polynomial solutions of homogeneous linear differential equations depending on parameters},
S.A. Abramow, M. van Hoeij: {\it Desingularization of linear difference 
operators with polynomial coefficients},
M.A. Barkatou: {\it Rational Solutions of Matrix Difference Equations. Problem 
of Equivalence and Factorization}

\noindent {\bf Session 12: Interface and Communication}\\
\noindent O. Arsac, S. Dalmas, M. Ga\"{e}tano: {\it The Design of a Customizable Component to Display and Edit Formulas},
P.S. Wang: {\it Design and Protocol for Internet Accessible Mathematical Computation},
H. Le, C. Howlett: {\it Client-Server Communication Standards for Mathematical
 Computation}

}

\begin{flushright}
Volker Weispfenning (Passau)
\end{flushright}


\item {\bf EQUADIFF 99}
       
 Berlin, 1.8.--7.8.1999

{\footnotesize
Die Konferenz {\em International Conference on Differential Equations}
(EQUADIFF 99) mit \"uber 600 Teilnehmern 
fand vom 1.-7.\ 8.\ 1999 in Berlin statt.
Eine von vielen Minisymposia war {\em Computer Algebra Tools}, die von
Jan Sanders (Vrije Universiteit Amsterdam) organisiert wurde. 
Die eingeladenen Vortr\"age waren:\\
-- Algorithms from representation theory (J.~Sanders), \\
-- Algorithmic invariant theory and dynamics (K.~Gatermann),\\
-- Using symbolic method to classify evolution equations
(Jing Ping Wang/J.~Sanders), \\
-- A method for computing center manifold 
and normal forms (Pei Yu).

}

\begin{flushright}
       Karin Gatermann (Berlin)
\end{flushright}


% \konfhinwitem{ICTMT4 -- The Fourth International Conference on Technology in Mathematics Teaching}{Plymouth, England 9.8. --  13.8.1999}

% Koepf ?

% \konfhinwitem{Recent Research on DERIVE/TI-92-Supported Mathematics Education}{G"osing, "Osterreich, 25.8. -- 28.8.1999}

% Kutzler, Koepf ?


% \konfhinwitem{DMV -- Jahrestagung 1999}{Mainz, 5.9. -- 11.9.1999}




% \konfhinwitem{ALCOMA99 Euroconference -- Algebraic Combinatorics and Applications}{G"o"sweinstein bei  Bayreuth, Deutschland 12.9. -- 19.9.1999}

% j.Grabmeier ?


% \konfhinwitem{2. Mitteldeutscher Computeralgebratag}{Leipzig, 30.9.1999}

% --> Graebe ?

\end{enumerate}

\newpage \vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Der Nobelpreis in Physik 1999}{Der Nobelpreis in Physik 1999}{nobel}

\UnterAbschnitt{\centerline{Computeralgebra-Programm Schoonschip}\\
\centerline{Ein Meilenstein bei der Renormierung nicht-abelscher Eichtheorien}}{Computeralgebra-Programm Schoonschip -- ein Meilenstein bei der Renormierung nicht-abelscher Eichtheorien}{Schoonschip}

     Die K"oniglich Schwedische Akademie der Wissenschaften hat
     den Nobelpreis in Physik f"ur das Jahr 1999
     gemeinsam verliehen an:\\

\noindent
     Professor Gerardus 't Hooft, Utrecht Universit"at, Utrecht, Niederlande, und \\
     Professor emeritus Martinus J.G. Veltman, Bilthoven, Niederlande. \\


\noindent
     {\em Entscheidung der Akademie der Wissenschaften:}\\
     ''f"ur ihre entscheidenden, die Quantenstruktur betreffenden Beitr"age zur Theorie der
     elektroschwachen Wechselwirkung in der Physik''.\\

\noindent
     Einer, der nicht die Hoffnung aufgegeben hatte, nicht-abelsche Eichtheorien renormieren zu
     k"onnen, war Martinus J.G. Veltman. Er war zu Ende der 60er Jahre neu ernannter Professor an
     der Universit"at in Utrecht. Veltman hatte ein Computerprogramm {\bf Schoonship} entwickelt, welches
     symbolisch algebraische Vereinfachungen der komplizierten Ausdr"ucke durchf"uhrte, die sich in
     allen Quantenfeldtheorien bei quantitativen Berechnungen ergeben. 20 Jahre fr"uher hatte zwar
     Feynman das Berechnungsproblem systematisiert und die sogenannten Feynmandiagramme, die
     schnell in der Welt der Forschung angenommen wurden, eingef"uhrt; aber damals gab es keine
     Computer. Veltman glaubte felsenfest an die M"oglichkeit, einen Weg zu finden, um die
     Renormierung auszuf"uhren, und sein Computerprogramm war ein Meilenstein in der
     umfangreichen Arbeit, verschiedene Ideen auszutesten.

     Im Fr"uhjahr 1969 bekam Veltman einen jungen, 22 Jahre alten Sch"uler, Gerardus 
     't Hooft, der seinen Wunsch ausgedr"uckt hatte, Hochenergiephysik studieren zu d"urfen.
     Nachdem er eine erste kleine Abhandlung geschrieben hatte wurde 't Hooft im Herbst des
     gleichen Jahres als Doktorand angenommen. Die Aufgabe war, bei der Suche nach einer Methode
     zur Renormierung nicht-abelscher Eichtheorien mitzuarbeiten. Er war "uberaus erfolgreich und
     ver"offentlichte schon 1971 zwei Arbeiten, die einen wichtigen Durchbruch im
     Forschungsprogramm darstellten.

     Mit Hilfe von Veltmans Computerprogramm wurde nun 't Hoofts Teilergebnis best"atigt und
     gemeinsam arbeiteten sie eine funktionierende Berechnungsmethode im Detail aus. Somit war die
     nicht-abelsche Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung eine funktionierende
     theoretische Maschinerie geworden und man konnte, genau wie vor 20 Jahren, mit genauen
     Berechnungen beginnen.


     Die Aussagen der Theorie werden best"atigt.
     Wie schon oben dargestellt, sagte die elektroschwache Theorie schon von Anfang an die Existenz
     der neuen Teilchen W und Z voraus. Aber erst durch 't Hoofts und Veltmans Arbeiten konnte man
     beginnen, physikalische Gr"o"sen, bei denen die Eigenschaften von W und Z eine Rolle spielen,
     genauer zu berechnen. In dem Beschleuniger LEP bei CERN ist es in letzter Zeit gelungen, gro"se
     Mengen von W und Z unter kontrollierbaren Verh"altnissen zu erzeugen. Vergleiche zwischen
     Messungen und Rechnungen haben immer gro"se "Ubereinstimmung gezeigt und sie st"arken
     dadurch die Aussagen der Theorie.

     Eine spezielle Gr"o"se, die ausgehend von den Ergebnissen am LEP mit 't Hoofts und Veltmans
     Berechnungsmethode erhalten werden konnte, ist die Masse des sogenannten top-Quarks, des
     schwersten der beiden Quarks, die zu der dritten Familie des Standardmodells geh"oren. Dieses
     Quark wurde zum ersten Mal direkt 1995 an dem Fermilabor in den USA beobachtet, aber seine
     Masse war schon einige Jahre fr"uher vorhergesagt worden. Die "Ubereinstimmung zwischen
     Experiment und Theorie war auch hier zufriedenstellend.

Die offizielle Pressmitteilung der K"oniglich Schwedischen Akademie der Wissenschaften vom 12 Oktober 1999 ist zu finden unter:
\URL{http://www.nobel.se/announcement-99/phyty99.html}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%     Themen und Anwendungen der Computeralgebra                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newpage \vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Themen und Anwendungen der Computeralgebra}{Themen und Anwendungen der Computeralgebra}{themen_ca}

\UnterAbschnitt{\centerline{Approximative L"osungen von Differentialgleichungen}\\
\centerline{mit Algorithmen der Computeralgebra}}{K. Hantzschmann, Appr. L"osungen von Differentialgleichungen }{apprsol}

\centerline{Karl Hantzschmann}
\centerline{Universit"at Rostock}
\vspace{3em}

\noindent
Algorithmen der Computeralgebra beruhen durchg"angig auf algebraischen Konzepten und haben das Bestimmen geschlossener (symbolischer) L"osungen  zum Ziel. Die Computeranalytik hingegen versteht sich in einem gewissen Sinn als Pendant zur Numerischen Mathematik. Ihr Anliegen besteht vorrangig in der Nutzung von Computeralgebra-Systemen f"ur kontrollierte analytische N"aherungsl"osungen bei nicht geschlossen l"osbaren oder nur mit nicht vertretbarem Aufwand l"osbaren Aufgaben. Die Zielstellung der Computeranalytik l"a"st sich wie folgt zusammenfassen:
\begin{itemize}
\item 
 Bestimmung analytischer (symbolischer) N"aherungsl"osungen, die die inh"arenten Eigenschaften des gegebenen Problems und den m"oglichen Einflu"s von Parametern m"oglichst gut widerspiegeln
\item  Formelausdrucke einfach und transparent gestalten bei Gew"ahrleistung realer Genauigkeitsanspr"uche
\item  Beurteilung der Genauigkeit der N"aherungsl"osungen durch Fehlerabsch"atzungen, die ohne manuelle Aufbereitung vollst"andig vom Computer geliefert werden.

\end{itemize}
\noindent
Hierbei kommen klassische und neue Approximationsverfahren der Mathematischen Analysis in Kombination mit Methoden der Computeralgebra zur Anwendung. Symbolische Arbeitstechniken werden mit der bew"ahrten numerischen Nutzung des Computers sinnvoll verbunden. Daraus resultieren f"ur die zum Einsatz kommenden Computeralgebra-Systeme hohe Anforderungen an die Schnittstelle zwischen symbolischen und numerischen Operationen.
Die Entwicklung nahm ihren Anfang vor ca. zwei Jahrzehnten in Dresden. Von N. J. Lehmann, von dem entscheidende Impulse dazu ausgingen und der international als Mitbegr"under der Computeranalytik gilt, und seinen Sch"ulern wurde eine Reihe von Algorithmen entwickelt und rechentechnisch aufbereitet [3, 4, 9, 10].

\noindent
Eines der Hauptfelder der Computeranalytik ist das Bestimmen formelm"a"siger N"aherungsl"osungen f"ur Differentialgleichungen. Aus den Zielen der Computeranalytik leitet sich ab, dass vor allem solche mathematischen Approximationsverfahren interessieren, die sich einem vorgegebenen Problem automatisch anpassen und mit vertretbarem Aufwand "ubersichtliche einfache Formelausdrucke liefern.

\noindent
Gute Resultate in diesem Sinne konnten mit einem Zweistufenkonzept f"ur gew"ohnliche Differentialgleichungen erzielt werden. In einem ersten Schritt wird das gegebene Problem durch ein geeignet gew"ahltes ''Nachbarproblem'' adaptiert, das mit Algorithmen der Computeralgebra geschlossen l"osbar ist. Die Fundamentall"osungen fungieren dann in einem zweiten Schritt als Basis f"ur einen angepa"sten N"aherungsansatz. Wenn also das Problem in der Form $ L(y) = 0 $ ($L$ gew"ohnlicher Differentialoperator der Ordnung $n$) mit $n$ linear unabh"angigen  Nebenbedingungen $ U(y) = r $ gegeben ist, ersetzt der Adaptionsschritt $ L(y)$ durch einen ''benachbarten'' Differentialoperator hinreichend hoher Ordnung $ \tilde{L}(y;a_0,...,a_m) $. 
Wenn vertretbar wird der linearen Abh"angigkeit von den freien Parametern in der Form  $
\tilde{L}(y) = \sum_{i=0}^{m} a_i L_{i}^{n_i}(y)
$
der Vorzug gegeben. Die $ a_i$ $ (i = 0,...,m) $ werden dann mit Hilfe geeignet gew"ahlter ''Adaptionskriterien'' bestimmt. Mit den "uber algebraische Methoden ermittelten Fundamentall"osungen von $ \tilde{L}(y) = 0 $ wird im nachfolgenden eigentlichen Approximationsschritt ein Ansatz  
$
\tilde{y} = \sum_{i=1}^{k} c_i \varphi _{i}
$
gemacht. Die Parameter $c_i $ $(i = 1,...,k) $ lassen sich "uber geeignet w"ahlbare ''Approximationskriterien'' mit Bezug auf die gegebene Aufgabe unter Ber"ucksichtigung der Nebenbedingungen ermitteln.

\noindent
Dieses Zweistufenkonzept bietet neben dem Vorteil, eine enge Problemanpassung zu erm"oglichen, einen breiten Spielraum zur Entwicklung verschiedener Algorithmen je nach Wahl der verwendeten Approximationskriterien in beiden Schritten und Festlegung der Klasse der Nachbarprobleme. Hinzu kommt, dass dieses Konzept eine zweifache M"oglichkeit  zur Steuerung der Genauigkeit bietet und den symbolischen und numerischen Berechnungsaufwand entscheidend reduziert.

\noindent
Ausgehend von diesem einfachen Grundkonzept konnten f"ur verschiedene Aufgabenklassen problemangepa"ste Algorithmen entwickelt werden (z. B. [7]). Mit  $\tilde{L} $ hat man die M"oglichkeit, das System der Ansatzfunktionen dem qualitativen Verhalten der L"osung anzupassen (z. B. Polynome, rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, ...). Es gelingt, die gro"se Vielfalt an Projektionsmethoden in dieses Grundkonzept zu integrieren [6]. Noch ungel"ost ist die Frage, inwieweit es gelingt, die beiden Approximationskriterien problemangepa"st und genauigkeitsorientiert auszuw"ahlen und damit eine effiziente Steuerung der Genauigkeitsanspr"uche zu erreichen.

\noindent
Eine Modifikation dieser Strategie stellt die Entwicklung eines Algorithmus zur n"aherungsweisen Bestimmung der nichtexponentiellen L"osungen f"ur eine Klasse linearer gew"ohnlicher Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit polynomialen Koeffizienten 
$ L(y) = \sum_{i=0}^{n} q_i(x) y^{(i)}(x) = 0  $
($ q_i \in K[x], i=0,...,n, K $ Konstantenk"orper der Charakteristik $0$) dar [2]. Der Funktionenraum, in dem sich die N"aherungsl"osung befinden soll, wird durch Differentialoperatoren $ \tilde{L} $ festgelegt, die ausschlie"slich ''elementare'' L"osungen im Sinne der Differentialalgebra (elementare Erweiterungen von $K(x)$) besitzen 
und sich dabei in Faktoren der Ordnung 1 mit Koeffizienten aus $\bar{K}(x)$ ($\bar{K}$  algebraischer Abschlu"s von $K$) zerlegen lassen. Mit Hilfe von Aussagen zur Struktur der L"osungsfunktionen aus der Computeralgebra lassen sich effiziente Algorithmen 
aufbereiten, die exakte L"osungen aus der Menge der exponentiellen Funktionen "uber K, d. h. Funktionen der Form $ y(x) = exp (\int u(x)dx ) ( u \in \bar{K}(x) ) $, ermitteln, falls 
solche existieren [1]. Die ben"otigten Differentialoperatoren 1. Ordnung werden in einer rekursiven Prozedur vom gegebenen Differentialoperator als rechte Linearfaktoren abgespalten.

\noindent
N"aherungsl"osungen ohne realistische Fehleraussagen sind praktisch wertlos. Das Bereitstellen implementierbarer Fehlerabsch"atzungen ist deshalb ein  zentrales Anliegen der Computeranalytik. Aufbauend auf einem in [8] vorgeschlagenen Konzept hat sich eine Vorgehensweise bew"ahrt, die bei Zugrundelegen einer sinnvoll abgegrenzten Funtionenklasse f"ur die in den Aufgaben auftretenden Koeffizientenfunktionen mit den heute verf"ugbaren Mitteln an Hard- und Software die vollst"andig vom Computer ausgef"uhrte Berechnung von Fehlerschranken gestattet. Grundlage bildet die Darstellung der Fehlerfunktion in Form einer Fixpunktgleichung. Als Information "uber die zu beurteilende N"aherungsl"osung geht die formelm"a"sig berechenbare Defektfunktion bez"uglich der gegebenen  Aufgabe ein. Der Integraloperator benutzt die Greensche Funktion zu einer durch Linearisierung des gegebenen Differentialoperators ableitbaren linearen Ersatzaufgabe. Wenn f"ur die dabei auftretenden nichtlinearen Restoperatoren in einer gewissen Umgebung der N"aherungsl"osung spezielle Lipschitz-Bedingungen 2. Ordnung erf"ullt sind, f"uhren Fixpunkts"atze zu den gew"unschten Absch"atzungen. Da die Greensche Funktion im allgemeinen nicht exakt berechenbar ist, wurden in mehreren Arbeiten M"oglichkeiten f"ur Normabsch"atzungen untersucht und f"ur den gew"unschten Zweck praktikabel gemacht.

\noindent
Die automatische Berechnung von Fehlerabsch"atzungen setzt voraus, dass f"ur die bei nichtlinearen Aufgaben auftretenden Lipschitz-Beziehungen praktikable Absch"atzungen gefunden werden k"onnen. M"oglich wird dies durch Implementierung eines angepa"sten ''Lipschitz-Kalk"uls'' auf der Basis der speziell f"ur diesen Zweck geeigneten Absch"atzungen 2. Ordnung [10]. Es werden Lipschitz-Beziehungen f"ur alle an der Aufgabenklasse beteiligten Basisfunktionen bereitgestellt. Gem"a"s der analysierten Syntaxstruktur der abzusch"atzenden Formel wird daraus die Gesamtabsch"atzung zusammengesetzt. Anwendung finden dabei relativ komplexe Ableitungsregeln f"ur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Substitution von bereits abgesch"atzten Teilformeln.

\noindent
Die hier kurz skizzierte Anwendung von Computeralgebra-Systemen zur Berechnung analytischer N"aherungsl"osungen f"ur gew"ohnliche Differentialgleichungen und der dazu geh"origen Fehleraussagen veranschaulicht die f"ur Algorithmen der Computeranalytik typische Nutzung von Computern in einer gemischt symbolisch-numerischen Weise.

\noindent
Im Vergleich zu den enormen Fortschritten der letzten Jahrzehnte im Bereich der Entwicklung, Implementierung und Anwendung von Algorithmen der Computeralgebra steht die Entwicklung des Konzeptes, Computeralgebra-Systeme f"ur kontrollierte N"aherungsl"osungen in Analogie zur Numerischen Mathematik zu nutzen, sicher erst am Anfang und bedarf weiterer intensiver Forschungs- und Entwicklungsarbeit.


% \vspace{3em}
\newpage
\noindent
{\bf Literatur:}
% {\footnotesize
\begin{description}
\item[[1]]    O. Becken. Algorithmen zum L"osen einfacher Differentialgleichungen. Rostocker Informatik-Berichte 17, Universit"at Rostock, 1995

\item[[2]]     O. Becken. On adaptive approximation and D-finite functions. Dissertation Universit"at Rostock, 1999

\item[[3]]     K. Hantzschmann. Implementierbare Fehlerabsch"atzungen f"ur N"aherungsl"osungen von Randwertaufgaben bei Systemen gew"ohnlicher Differentialgleichungen. Studientexte Weiterbildungszentrum f"ur Mathematische Kybernetik und Rechentechnik / Informationsverarbeitung 73, Technische Universit"at Dresden, 1984

\item[[4]]     K. Hantzschmann. Probleme und Algorithmen der Computeranalytik. In Mitteilungen der MGDDR / Mathematikerkongress, Bd. 2, S. 61-67. MGDDR, 1990

\item[[5]]     K. Hantzschmann. Concepts and algorithms of Computer Analysis for an approximate solution of ODEs. Rostocker Informatik-Berichte 21, Universit"at Rostock, 1998

\item[[6]]     K. Hantzschmann, A. Jung. Adaptive Approximation zur n"aherungsweisen L"osung von Differentialgleichungen. Rostocker Informaitk-Berichte 18, Universit"at Rostock, 1995 

\item[[7]]     K. Hantzschmann, N. X. Thinh. Analytical approximate solution of singular ordinary differential equations. In D. Shirkov, V. Rostovtsev, and V. Gerdt, editors, IV. International Conference on Computer Algebra in Physical Research, Dubna, UdSSR, 22-26 May 1990, pages 169-174, Singapore, 1991. World Scientific Publishing.

\item[[8]]     N. J. Lehmann. Fehlerschranken f"ur N"aherungsl"osungen bei Differentialgleichungen. Numerische Mathematik, S. 261-288,1967

\item[[9]]     N. J. Lehmann. Computer algebra and practical analysis. In B. Buchberger, editor, EUROCAL'85, European Conference on Computer Algebra, Linz, April 1-3, 1985, Proceedings Vol. 1: Invited Lectures, volume 203 of Lecture Notes in Computer Science, pages 102-113, Berlin-Heidelberg-New York, 1985. Springer-Verlag

\item[[10]]    N. J. Lehmann. Die Analytische Maschine - Grundlagen einer Computer-Analytik. In Sitzungsberichte der S"achsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, volume 118,4. Akademie Verlag, Berlin, 1985 
2

\end{description}
% }

% \newpage
% \vspace{-1.5em}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Systeme                                                     %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% \Abschnitt{Neues \"uber Systeme und Hardware}{Neues \"uber Systeme und Hardware}{systems}

% {\noindent

% \UnterAbschnitt{\centerline{ALT!! -- Macsyma 2.4 for PCs and Macsyma 422 for UNIX}}{Macsyma 2.4 for PCs and Macsyma 422 for UNIX}{macsyma}

% \vspace{-.5em}
% \noindent
% Macsyma(r) 2.4 for PCs with MS-Windows 95, 98, and Windows NT is now
% shipping. ...
% }
%  \begin{flushright}
% Macsyma Inc. (Arlington)
%  \end{flushright}                                                              


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newpage \vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung}{Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung}{lehre}



\UnterAbschnitt{\centerline{Laptop zum Spicken} \\
\centerline{Erstmals durften Sch"uler beim Abitur Computer benutzen}}{M. Ermert, Laptop zum Spicken -- Computer beim Abitur}{Laptop}


\begin{center}
{\em \tiny Nachdruck aus der ZEIT vom 6. Mai
1999 mit freundlicher
Genehmigung der Autorin.\\
      \copyright beim Autor/DIE ZEIT 1999 Nr. 19
      All rights reserved. 

}  
\end{center}
\noindent
Papier, Bleistift und ein bi"schen was zum Essen hatte sich Fabian Hust
f"ur seine Abiturpr"ufung eingepackt. Der sperrigste Gegenstand in
seinem Ranzen aber war ein kleiner, schwarzer Laptop. Mit den
tragbaren Computern haben der 19j"ahrige Reutlinger Gymnasiast und
59 weitere Sch"uler in Baden-W"urttemberg vor kurzem ihr
Mathematik-Abitur bestritten.

Mit einem Computer-Algebra-System (CAS) hatten sie Kurvenscharen
und Systeme mit sieben Gleichungen darzustellen. Die Festplatten
ihrer Rechner wurden vor der Pr"ufung nicht kontrolliert.
Grunds"atzlich, so einer der betreuenden Lehrer, h"atten diese
Abiturienten damit "uber den \glqq gr"o"sten Spickzettel'' der Welt verf"ugt.

Das \glqq Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer'' ist wohl die konsequenteste
Erprobung des Einsatzes neuer Techniken im deutschen
Schulunterricht. \glqq Selbst europaweit einzigartig'', urteilt der Leiter der
Gesch"aftsstelle \glqq Schulen ans Netz'', Michael Drabe. Dabei hat sich der
Quantensprung fast unbemerkt vollzogen, so als h"atten die Beteiligten
noch Angst vor der eigenen Courage. Bilanz ziehen wollen die
beteiligten Projektschulen in Karlsruhe, L"orrach, Backnang und
Reutlingen, die zust"andigen Oberschul"amter und das betreuende
Staatliche Seminar f"ur Schulp"adagogik in Karlsruhe erst nach dem
Abitur. 

Drei Jahre lang haben die Grund- und Leistungskurssch"uler der vier
Klassen viele Stunden ihres Mathematikunterrichts am Computer
absolviert. Neidisch be"augt von ihren Mitsch"ulern, haben sie ihre
schicken Laptops mit sich herumgetragen und teilweise auch in
anderen F"achern eingesetzt, zum Beispiel f"ur das Verfassen von
Deutschaufs"atzen oder beim Erstellen eigener Homepages f"urs
Internet. Immerhin 1,2 Millionen Mark lie"s sich das
baden-w"urttembergische Kultusministerium die teuren Ger"ate kosten
und beschaffte mit dem Computerprogramm Maple eine Software, die
auch in Forschung und Wissenschaft Verwendung findet.

Maple erm"oglicht die Bearbeitung schwierigster mathematischer
Operationen, "ubernimmt l"astige Rechenarbeit und liefert auf
Knopfdruck die Ergebnisse von gewaltigen Gleichungssystemen,
Darstellungen von Funktionen und L"osungen f"ur
Differentialgleichungen, die bislang Stoff f"ur das vierte
Hochschulsemester waren. Aber darf die Arbeit mit dem Computer ein
so starkes Gewicht im Mathematikunterricht gewinnen? Dar"uber
diskutieren nun die Beteiligten. \glqq Eine "ahnliche Diskussion hatten wir
schon bei Einf"uhrung des Taschenrechners'', sagt Ulrich Rauscher vom
Gymnasium in der Taus in Backnang. \glqq K"onnen Sie heute noch eine
Wurzel ziehen ohne Taschenrechner?'' fragt Ernestina Dittrich vom
Karlsruher Helmholtz-Gymnasium, und Michael Komma, der Lehrer
von Fabian und einer der Vorreiter des CAS-Einsatzes in der Schule,
signiert jede seiner E-Mails mit dem Leibnizschen Satz: \glqq Denn es ist
eines ausgezeichneten Mannes nicht w"urdig, wertvolle Stunden wie
ein Sklave im Keller der einfachen Berechnungen zu verbringen.''

W"ahrend ihres Spezial-Abiturs durften die Laptop-Sch"uler alle
Rechenschritte anwenden, die sie im Unterricht auf sogenannten
Worksheets erarbeitet haben. \glqq Das n"utzt aber nur dann etwas, wenn
man wei"s, welchen L"osungsweg man gehen mu"s'', sagt Fabian Hust.
Zur Vorbereitung auf die Pr"ufung hatte er seine gutsortierte
Worksheet-Sammlung noch einmal durchgearbeitet. Unruhig machte
ihn vor allem, da"s er und seine Mitsch"uler als Vorboten das Neuland
der elektronischen Reifepr"ufung betreten. \glqq Ein Abi mit dem Computer
hat es schlie"slich noch nie gegeben, wer wei"s, was f"ur Aufgaben wir
da kriegen'', sorgte sich der Abiturient. In seinem zweiten
Hauptpr"ufungsfach Chemie gebe es wenigstens Aufgabensammlungen,
da wisse man ziemlich genau, was einen erwartet. 

F"ur die Freigabe aller erarbeiteten Operationen spricht, da"s die
Sch"uler dann kreativ mit dem Rechner umgehen k"onnen. \glqq Vier oder
f"unf verschiedene L"osungswege f"ur eine Aufgabe habe ich bei meinen
Sch"ulern im Abitur gesehen'', sagt Rauscher voller Begeisterung.
Genau darin sehen alle Beteiligten den Hauptvorzug des
Softwarepakets. Statt Gleichungen nach Schema F zu l"osen, sollen die
Sch"uler einen realen Sachverhalt mathematisch erfassen und in eine
Gleichung umsetzen k"onnen. \glqq Mehr mathematisches Verst"andnis,
weniger Drill'', sagt Hans Selinka vom Oberschulamt T"ubingen. Im
herk"ommlichen Mathematikunterricht fehlt dazu h"aufig die
Rechenmacht, mit einem CAS kann die inhaltliche Arbeit in den
Vordergrund r"ucken.

Wie m"ussen Milcht"uten geschnitten werden, damit das
Verpackungsmaterial optimal genutzt ist? Wie ver"andern sich
Populationen "uber mehrere Generationen in Abh"angigkeit von
verschiedenen Faktoren? Welche Ph"anomene ergeben sich beim
Billardspiel mit gekr"ummten Banden? \glqq Die Sch"uler haben in
Seminararbeiten Phantastisches abgeliefert'', r"aumt Dieter Koller vom
Seminar f"ur Schulp"adagogik ein, obwohl der zweite Bericht der
Karlsruher P"adagogen kritisch mit dem Computereinsatz ins Gericht
ging. \glqq Es besteht schon die Gefahr, da"s die Sch"uler das Wissen, das sie
auf dem Laptop mit sich herumtragen, mit dem Wissen im Kopf
verwechseln'', sagt Koller. Vor allem die Abh"angigkeit vom
elektronischen Gehirn m"usse aber vermieden werden. 

Und die Abh"angigkeit f"angt schon bei lapidaren Dingen an: ohne Strom
im Klassenraum kein digitales Abitur. Sicherungsdisketten und
Ersatzger"ate f"ur die nicht immer zuverl"assigen Laptops sollten
technische Probleme vermeiden helfen. Seine Arbeitspapiere hatte
Fabian vorher noch auf eine CD gebrannt, f"ur alle F"alle. Die
Fehleranf"alligkeit der Laptops, die dem Stre"s t"aglicher Fahrradfahrten
in Rucks"acken und Ranzen kaum gewachsen waren, stellte dann auch
tats"achlich eines der gr"o"sten Probleme f"ur Lehrer und Sch"uler dar.
Am Ende des Abiturexperiments atmeten alle Beteiligten noch ein
bi"schen mehr auf als nach der normalen Abiturklausur.

F"ur die n"achste Runde will die Mehrzahl der Schulen auf weniger
empfindliche Tischger"ate setzen. Voraussetzung sind dann eine
ausreichende Ausstattung der Schulen - im n"achsten Schuljahr
werden es mindestens doppelt so viele sein - und der Zugang zum
Computer daheim. Die Ausbreitung in die Fl"ache d"urfte noch ein
Weilchen dauern. Geld vom Land aber gibt es f"ur die zweite Runde
nicht mehr. Walter Kinkelin, im baden-w"urttembergischen
Kultusministerium f"ur das Projekt verantwortlich, kann sich da auch
eine kleine L"osung mit billigeren programmierbaren Taschenrechnern
vorstellen. Weniger Computereinsatz als im ersten Durchgang
w"unscht sich auch Dieter Koller. An den vier Projektschulen aber will
man sich von PC und Maple nicht mehr trennen. Auch die
\glqq Abfallprodukte'' Erfahrung mit Textverarbeitung, Umgang mit dem
Internet bis hin zur Netzwerkbetreuung werden allseits als
Schl"usselqualifikationen gelobt.

Mehr Mut fordert vor allem Michael Komma, der in seinen eigenen
Zwischenbericht schrieb: \glqq Wir m"ussen Chancen der Technologie voll
ausloten.'' Dabei will er gar nicht auf Tafel und Kreide verzichten, die
Lehrer keineswegs durch Computer und Internet ersetzen. Das
virtuelle Klassenzimmer ist f"ur ihn aber schon lange keine Vision
mehr. Fast rund um die Uhr kann er Fragen seiner Sch"uler
beantworten, als Fortschreibung der gemeinsam erarbeiteten
Ergebnisse entsteht ein elektronisches Lehrbuch. Umsonst wird das
bei allem Engagement der Lehrer nicht zu haben sein, denn
selbst"andig lernende Sch"uler wollen individuell betreut werden.

Trotz aller positiven Erfahrungen des Modellversuchs: Der richtige
Weg ist noch umstritten, die Fragen: \glqq Wieviel Arbeit darf der Computer
dem Sch"uler abnehmen?'' und: \glqq Wieviel Computer schadet dem
Sch"uler?'' sind noch nicht beantwortet. Doch Michael Komma ist
"uberzeugt: \glqq In der vernetzten Welt von morgen werden unsere
Sch"uler genauso gepr"uft werden, es w"are falsch, sie nicht schon
heute darauf einzustimmen.''
\begin{flushright}
Monika Ermert (\Mail{m.ermert@gmx.de})
\end{flushright}

\vspace*{4mm}
\hrule

\UnterAbschnitt{\centerline{Computeralgebra-Systeme in der Schule}\\
\centerline{Erfahrungen in Deutschland}}{H. Knechtel, Computeralgebra-Systeme in der Schule }{Laptop}


\noindent
Vor ca.\ 30 Jahren wurden Werkzeuge entwickelt, die symbolische Manipulationen erlauben, seit ca.\
10 Jahren wird der Einfluss von derartigen Computeralgebra-Systemen (CAS) auf den 
Mathematikunterricht in Deutschland diskutiert. Was zun"achst wie die Diskussion von einigen 
Vision"aren aussah, hat sich in den letzten Jahren sehr stark ver"andert. Durch die Entwicklung kleiner 
Hardwaresysteme, sogenannten Taschencomputern, die eine Computeralgebra implementiert haben, 
ist der Druck auf Schule und Universit"at deutlich gr"o"ser geworden, sich dem Thema 
\glqq Mathematikunterricht mit CAS'' ernsthaft zu stellen. Schon 1991 fragte Wilfried Herget auf der 
9.\ Tagung des Arbeitskreises Mathematik und Informatik der GDM: \glqq Wieviel Termumformungen, 
Kurvendiskussionen,\ldots braucht der Mensch?''. Eine befriedigende Antwort hierauf ist bisher noch nicht 
gefunden worden, doch hat diese zentrale Frage seither immer wieder sowohl Hochschuldidaktiker als 
auch Mathematiklehrer besch"aftigt. 

Der Einzug von Graphikrechnern (GTR) und Taschencomputern (TC) in den Unterricht ist in den 
einzelnen Bundesl"andern unterschiedlich realisiert worden. Einerseits sind in einzelnen L"andern 
(Nordrhein-Westfalen [3], Baden-W"urttemberg [2], Niedersachsen [1], Sachsen [4]) hierzu offizielle 
Schulversuche durchgef"uhrt und ausgewertet worden, andererseits gab es im ganzen Bundesgebiet 
lokale Versuche von engagierten Lehrern, CAS als Werkzeug in den Unterricht zu implementieren. 
Besonderes Interesse lag dabei neben der Frage, wie sich der MU mit diesem neuen Werkzeug 
"andert, auch die, wie Pr"ufungen mit CAS gestaltet werden sollen. 

In Deutschland sind Kultusangelegenheiten L"andersache. Damit haben sich unterschiedliche 
Bedingungen f"ur den Einsatz von GTR  und CAS ergeben. Der Einsatz ist h"aufig von folgenden eher 
formalen Aspekten abh"angig:
\begin{itemize}
\item
Ist der Einsatz von TR ganz allgemein gesetzlich geregelt?
\item
Sind Hinweise in den Richtlinien Mathematik zum Einsatz von Hard- und Software enthalten?
\item
Welche Bedingungen gelten in Pr"ufungen, insbesondere im Abitur, f"ur den Einsatz von Soft- und 
Hardware?
\item
Welche offizielle Unterst"utzung wird dem Einzug von Hard- und Software zuteil?
\item
  Welche M"oglichkeiten haben die Schulen vor Ort, individuell den Einsatz von Hard- und Software 
zu regeln?
\end{itemize}
Die deutlichste Wirkung auf die unterrichtenden Lehrer hat dabei die Frage, wie der Einsatz von 
entsprechender Hard- und Software im Abitur geregelt ist. Der Einsatz in der finalen Schulpr"ufung ist 
f"ur viele das zentrale Argument f"ur oder gegen den Einsatz derartiger Systeme. Dieses ist gut 
nachvollziehbar, weil sich mit dem Einsatz von CAS sowohl in den Inhalten als auch in den Formen 
des Unterrichtes vieles ver"andert. Wenn diese Ver"anderungen durch die anstehende Abiturpr"ufung 
egalisiert werden, sind massive Konflikte vorprogrammiert. In Baden-W"urttemberg hat man sich daher 
entschlossen, die im Pilotprojekt \glqq Mobiles Klassenzimmer'' [2], siehe auch Rundbrief Nr. 24, 
integrierten Lerngruppen aus dem allgemeinen zentralen Abitur herauszul"osen und gesonderte 
zentrale Pr"ufungsaufgaben zu erstellen.  

Dadurch, dass die L"ander die Kultushoheit haben, haben sich unterschiedliche Formen der 
Abschluss\-pr"ufungen entwickelt. Die wesentlichen Unterschiede liegen darin, dass in einigen L"ander 
beim Abitur zentral gestellte, in anderen individuell gestellte Pr"ufungsfragen von den Abiturienten zu 
bearbeiten sind.  Dieses hat sowohl Auswirkungen auf den vorangehenden Unterricht als auch auf die 
Art der Pr"ufungsfragen. In L"andern mit Zentralabitur sind die Pr"ufungsaufgaben bisher deutlich st"arker 
strukturiert, um allen Sch"ulern unabh"angig von der Form des vorangegangenen Unterrichtes einen 
entsprechenden Zugang zu den zentralen Problemen zu erm"oglichen. Erste Ans"atze zu einer "Offnung 
der Aufgaben sind z.~B.\ in Baden-W"urttemberg zu beobachten. L"ander ohne Zentralabitur haben hier 
sehr viel mehr Handlungsspielraum und k"onnen auf individuelle Schwerpunkte deutlich flexibler 
eingehen. Dieses macht sich auch beim Einsatz von CAS bemerkbar. Eine der Forderungen, sich von 
konvergenten Aufgaben hin zu mehr offenen Problemstellungen und divergenten Aufgaben zu 
bewegen, Modellierungsaspekte mehr einzubeziehen, l"asst sich einfacher realisieren, wenn man 
sowohl beim Unterricht als auch in Pr"ufungen auf die Besonderheiten der Lerngruppe eingehen kann. 
Im Gegensatz hierzu haben erste Erfahrungen in Baden-W"urttemberg mit CAS Abitur gezeigt, dass 
bei zentralen Pr"ufungsfragen viele Aspekte neu "uberdacht werden m"ussen.  

Global ist in der Bundesrepublik zu beobachten, dass Computeralgebrasysteme in den Schulen auf 
dem Vormarsch sind. Nach einer Erhebung im Jahr 1999 von Texas Instruments sind heute in weit 
mehr als der H"alfte der Bundesl"ander (Niedersachsen, Schleswig-Holstein, Rheinland-Pfalz, 
Nordrhein-Westfalen, Hessen, Hamburg, Bremen, Brandenburg, Mecklenburg-Vorpommern, Sachsen-%
Anhalt, Th"uringen (jeweils nicht in Pr"ufungen); Baden-W"urttemberg (mit Einschr"ankung auf 
Schulversuche) Computeralgebrasysteme im Unterricht erlaubt. Gegen"uber der ersten Erhebung 
(1996, Texas Instruments) hat sich hier ein dramatischer Wandel ergeben. Damals waren in ca.\ der 
H"alfte der Bundesl"ander lediglich GTR in Unterricht und Pr"ufung erlaubt, in den anderen L"andern 
waren sie in den Pr"ufungen und im Unterricht verboten. Der Einsatz von CAS war zu diesem Zeitpunkt 
in keinem Bundesland zentral geregelt.

In Niedersachsen, wo in den letzten zwei Jahren ein starker Anstieg der Schulen, die CAS im 
Unterricht einsetzen, zu beobachten ist, sind die Voraussetzungen f"ur den Einsatz von GTR und CAS 
eher g"unstig:
\begin{itemize}
\item
Es gibt keinen offiziellen Taschenrechnererlass mehr. Die Einsicht, dass man nicht bei jeder 
neuen Rechnergeneration die Bedingungen f"ur den Einsatz haarklein vorgeben kann, haben dazu 
gef"uhrt, dass nur noch auf der Basis des Gleicheitsgrundsatzes lokal von den einzelnen Schulen 
"uber den Einsatz von Hard- und Software entschieden wird.
\item
In den neu zu entwickelnden Rahmenrichtlinien f"ur die Sekundarstufe I und II wird davon 
ausgegangen, dass in der Sekundarstufe I alle Sch"ulerinnen und Sch"uler einen graphikf"ahigen 
Taschenrechner besitzen und in den Schulen Zugang zu weiterer Software haben. In der 
Sekundarstufe II wird dar"uber hinaus der Einsatz von CAS als ein neues Werkzeug vorgesehen.
\item
In den neuen Einheitlichen Pr"ufungsanforderungen im Abitur sind alle Hard- und Software 
zugelassen, wenn der Gleichheitsgrundsatz gew"ahrleistet ist. Der Einfluss dieser Werkzeuge auf 
die zu bearbeitenden Problemstellungen muss vom einreichenden Lehrer erl"autert werden, die 
Problemstellungen sind entsprechend dem zur Verf"ugung stehenden Werkzeug auszuw"ahlen. 
Dar"uber hinaus ist bei der Bearbeitung der Pr"uflinge darauf zu achten, dass sie hinreichend Raum 
haben, ihre L"osungsstrategien sachgerecht zu dokumentieren.
\item
Durch die Empfehlung der Mathematikkommission f"ur einen zuk"unftigen MU am Gymnasium wird 
der Einsatz von Hard- und Software entsprechend unterst"utzt. Im Sommer 1999 hat die 
Kultusministerin in einem Erlass dar"uber hinaus den Einsatz von GTR und Taschencomputern mit 
CAS in den entsprechenden Schulstufen gefordert.
\item
Aufgrund der Erlasslage und der Diktion des Ministeriums k"onnen die Schulen auf der Basis von 
Rahmenrichtlinien und Einheitlichen Pr"ufungsanforderungen Abitur individuell den Einsatz von 
Hard- und Software planen und durchf"uhren.
\item
Das Ministerium hat beschlossen, alle Mathematiklehrer im Gymnasium verbindlich im Sinne der 
Ideen der Mathematikempfehlungen in den n"achsten Jahren fortzubilden. Themenschwerpunkte 
werden hierbei Einsatz und Einfluss von GTR, CAS und DGS im Unterricht sein.
\end{itemize}
Trotzdem nutzen z.~Z.\ nur ein Teil der Kollegen die M"oglichkeit, diese neuen Technologien im 
Unterricht einzusetzen. Bisher liegen erste Erfahrungen  (ca.\ 10 Schulen) zum Einsatz von CAS im 
Abitur vor (2 Jahrg"ange), sie sind aber noch nicht ausgewertet. Da in einigen Landesteilen GTR und 
TC sich zunehmend mehr an den Schulen verbreiten, ist aber damit zu rechnen, dass in den n"achsten 
Jahren auch im Abitur diese Ger"ate Eingang haben werden. Durch die Abl"osung des wissenschaftlich-%
technischen Taschenrechners durch einen GTR werden mittelfristig alle Pr"ufungsaufgaben auf dieser 
neuen Folie entwickelt werden. 

\vspace*{4mm}
\noindent
{\bf Erste Ergebnisse aus  einem Schulversuch in Niedersachsen zum Einsatz von TC  im MU}

\vspace*{2mm}
\begin{small}

\noindent
Im Schuljahr 1996/97 hat in drei Gymnasien ein halbj"ahriger Schulversuch zum Thema \glqq Einsatz des 
Taschencomputers TI 92 im Mathematikunterricht des Gymnasiums'' stattgefunden. Die Ger"ate wurden in einer 
der beteiligten Schulen in mehreren Lerngruppen f"ur die Dauer von jeweils ca.\ 4 Wochen, in den beiden anderen 
im gesamten Beobachtungszeitraum jeweils in nur einer Lerngruppe (LK 12) eingesetzt. Durch unterschiedliche 
Konzepte wurde gew"ahrleistet, dass die Beobachtungen neben dem vollintegrierten auch den teilintegrierten 
Einsatz des Rechners ber"ucksichtigten.

Aus den Beobachtungen der Kolleginnen und Kollegen und den Erfahrungen der Sch"ulerinnen und Sch"uler l"a"st 
sich ein erstes  vorl"aufiges Res"umee ziehen [1]. Die hierbei gemachten Beobachtungen decken sich weitgehend 
mit denen aus der "osterreichischen Untersuchung zum Einfluss des TI 92 im MU und den Ergebnissen des 
Pilotprojektes \glqq Mobiles Klassenzimmer'' in Baden-W"urttemberg:
\begin{itemize}
\item
Beim Einsatz des TC  werden einerseits mathematische Verst"andnisdefizite klarer aufgezeigt, da 
Sch"ulerinnen und Sch"uler sich durch Entlastung bei Termumformungen nicht mehr hinter der schematischen 
Anwendung des Kalk"uls verstecken k"onnen. Andererseits k"onnen durch den Einsatz des TC M"angel in der 
Kalk"ulkompetenz (L"osen von Gleichungen, korrektes Differenzieren und Integrieren) \glqq gestopft'' werden, so 
dass diese nicht mehr von dem Auffinden der Probleml"osung ablenken. Leistungsstarken Sch"ulerinnen und 
Sch"ulern er"offnen sich durch das neue Werkzeug neue Perspektiven, die sie zu kreativem Umgang mit 
Mathematik anregen k"onnen. Sowohl leistungsstarke als auch leistungsschwache Sch"ulerinnen und Sch"uler 
k"onnen dadurch von dem Rechner deutlich profitieren. Bei Sch"ulerinnen und Sch"ulern mit bisher 
befriedigenden Leistungen wird durch den Einsatz des Rechners die Tendenz ihrer Leistungsf"ahigkeit 
deutlicher: diejenigen, die gute Ideen aber Schw"achen in der Umsetzung haben, werden durch das 
Werkzeug entlastet und k"onnen ihre L"osungsideen eher umsetzen; diejenigen, deren Leistung sich prim"ar  
auf sicheren Umgang mit dem Kalk"ul st"utzt, werden durch ver"anderte Anforderungen im Unterricht und den 
Klausuren diese Leistungsst"arke nicht mehr so zur Geltung bringen k"onnen. 
\item
Durch verst"arkten Einsatz des Rechners wird ohne entsprechende Gegensteuerung die Kalk"ulkompetenz der 
Sch"ulerinnen und Sch"uler geringer. Andererseits kann gerade der Rechner dazu anregen, der "au"seren Form 
nach unterschiedliche Terme mit klassischen Mitteln auf Gleichheit zu "uberpr"ufen. Die geringere 
Kalk"ulkompetenz wirkt sich aber nach den bisherigen Beobachtungen nicht auf die F"ahigkeit aus, inner- und 
au"sermathematische Probleme unter Einsatz dieses Rechners zu l"osen. L"osungswege sind h"aufiger 
\glqq kreativer'', da die Besorgnis der nicht erfolgreichen Bearbeitung des algebraischen Problems gering ist. Es 
bleibt abzuwarten, wie sich die Forderungen an die Kalk"ulkompetenz durch verst"arkten Einsatz von 
Computeralgebrasystemen in allen Lebensbereichen (vergleichbar dem  des Taschenrechners) langfristig 
ver"andern werden. 
\item
Durch den Einsatz des Rechners wird das Gespr"ach "uber Mathematik deutlich befruchtet. Unterschiedliche 
Ans"atze und L"osungsstrategien, deren Vergleich nicht mehr durch fehlerhafte Termumformungen \glqq belastet'' 
ist, fordern zu Fragen und Diskussionen heraus, die weit "uber das bisher "ubliche hinausgehen. Es ist jetzt 
weniger das \glqq wie'' sondern eher das \glqq warum'' Zentrum der gemeinsamen Betrachtung eines L"osungsweges. 
Die Sprache der Sch"ulerinnen und Sch"uler orientiert sich dabei stark an den kompakten Befehlen des CAS, 
\glqq dann wenden wir den Solver an'',\ldots . Das Gespr"ach "uber die Sache wird auch in den jetzt andersartigen 
Dokumentationen "uber das \glqq Tun'' deutlich, die durch l"angere Textpassagen mit mathematischen 
Begr"undungen gekennzeichnet sind. Diese neue Qualit"at der Reflexion inner- und au"sermathematischer 
Probleme im Unterricht wird durch den Einsatz des TC stark forciert.
\item
Geschlechtsspezifische Unterschiede im Umgang und Einsatz des TC wurden um so deutlicher, je sp"ater 
eine Erstbegegnung mit diesem neuen Werkzeug geschah.  Bei Sch"ulerinnen und Sch"ulern der Klassenstufe 
7 und 8 waren keine Unterschiede erkennbar, das neue Werkzeug wurde in gleicher Weise zur L"osung, 
Kontrolle und zu weiterf"uhrenden Experimenten eingesetzt. In h"oheren Klassen (9 - 11) wurden  
Unterschiede dann deutlich, wenn auch unterschiedliche Vorerfahrungen mit Computern allgemein 
vorhanden waren. Bei Sch"ulerinnen und Sch"ulern der Grundkurse waren diese \glqq Rollen'' noch deutlicher 
ausgepr"agt, im Leistungskurs waren dagegen geschlechtsspezifische unterschiedliche Zug"ange zum 
Rechner nicht erkennbar.
\item
Im Rahmen der Untersuchung war insbesondere in Lerngruppen, in denen der TC langfristig eingesetzt 
wurde, zu beobachten, dass sich die Unterrichtsinhalte nicht mehr so stark am Kalk"ul orientierten. 
Innermathematische Fragestellungen konnten vielschichtiger untersucht werden (Interpolation und 
Extrapolation, vielschichtige Ans"atze der Integralrechnung, numerische Verfahren,\ldots), au"sermathematische 
Anwendungen waren durch den Einsatz des TC "uberhaupt erst sinnvoll geschlossen zu bearbeiten. Reales 
Datenmaterial mu"ste nicht erst manipuliert werden, sondern konnte in der vorgelegten Form 
weiterverarbeitet werden, dadurch konnten reale Problemstellungen mit mathematischen Modellen sinnvoll 
behandelt werden. F"ur die Sch"ulerinnen und Sch"uler stellte sich die Frage nach der Sinnhaftigkeit des 
eigenen Handelns im Mathematikunterricht nicht mehr in der sonst vorhandenen Form, da sie  zu realen 
Problemen L"osungsmodelle und Strategien weitgehend selbst"andig entwickeln konnten. 
Der Taschencomputer bietet M"oglichkeiten, Probleme auf unterschiedlichen Betrachtungsebenen (graphisch, 
tabellarisch, algebraisch) zu bearbeiten und sich Sachverhalte vielseitig zu veranschaulichen. Diese neue 
Qualit"at des Mathematikunterrichts, problemlos auf unterschiedlichen Ebenen zu arbeiten, bietet den 
Sch"ulerinnen und Sch"ulern die Chance, ihre individuellen L"osungsstrategien umzusetzen. Die Abgrenzungen 
der Ebenen einerseits und ihre Verkn"upfung andererseits werden durch ein derartiges Werkzeug initiiert.
\item
Aufgrund der Vielzahl von Variationsm"oglichkeiten kommen die Sch"ulerinnen und Sch"uler selbst"andig zu 
neuen Fragestellungen,  erhalten eine F"ulle von Anschauungsmaterial, wodurch sich die Durchdringung des 
Stoffes vertiefen kann.
\item
Bei schriftlichen Lernzielkontrollen konnte festgestellt werden, dass sich nach entsprechenden 
Anlaufschwierigkeiten keine wesentlichen neuen Probleme ergaben. Es konnte beobachtet werden, dass mit 
zunehmender Ver"anderung des Unterrichtes in Hinsicht auf den Umfang des Rechnereinsatzes auch die 
Klausuren so gestaltet wurden, dass die Benutzung des TC nur nebens"achlich wurde. Statt der klassischen 
Anfertigung einer Zeichnung oder Skizze, die bei Einsatz des integrierten Funktionenplotters nur noch sehr 
eingeschr"ankt Sinn macht,  wurden z.B. Zeichnungen vorgegeben, die entsprechend weiter zu untersuchen 
bzw. zu interpretieren waren. Bei Funktionsbetrachtungen z. B. wurde eine breite Untersuchung zugunsten 
einer starken Fokussierung auf Einzelaspekte mit anschlie"sender Variation verworfen. Die klassische 
Kurvendiskussion verliert ihren Stellenwert, dennoch bleiben einzelne Aspekte erhalten und gewinnen im 
anderen Kontext neue Bedeutung.
\end{itemize} 
Insgesamt ist festzustellen, dass der teilintegrierte Ansatz beim Einsatz des TC sich  in den beobachteten 
Lerngruppen nur sehr eingeschr"ankt bew"ahrt hat, da die Sch"ulerinnen und Sch"uler sich nicht in dem 
gew"unschten Umfang mit dem Rechner vertraut machen konnten. Der lokale Einsatz in einzelnen ausgew"ahlten 
Unterrichtsstunden f"uhrt aufgrund mangelhafter Kenntnisse in der Benutzung des TC eher zu negativen 
Auswirkungen. Erst der vollintegrierte Ansatz, der den Einsatz des TC jederzeit im Unterricht, zu Hause und in 
den Klausuren vorsieht, f"uhrt dazu, dass der Rechner als nat"urliches Werkzeug im MU angesehen wird. Mit 
zunehmender Einsatzdauer der Rechner ist insgesamt zu beobachten, dass der Umfang seines direkten 
Einsatzes eher r"uckl"aufig ist. Dieser scheinbare Widerspruch erkl"art sich daraus, dass  Themen und Inhalte des 
Unterrichtes und der Klausuren sich von ergebnis- und kalk"ulorientierten Aufgaben hin zu inner- und 
au"sermathematischen Problemen orientiert. Dabei ist der Rechner im Hintergrund als m"achtiges Werkzeug stets 
latent vorhanden, das den Unterricht in vielen Bereichen von \glqq Berechnungen'' (Differenzieren, Integrieren, L"osen 
von Gleichungen, Termumformungen,\ldots) entlastet und damit den Blick f"ur zentrale Fragestellungen freigibt. Allein 
die Existenz des Taschencomputers in Sch"ulerhand fordert den Lehrer auf, sich zusammen mit seinen 
Sch"ulerinnen und Sch"ulern Problemstellungen zu widmen, deren L"osung von der sicheren Beherrschung von 
Termumformungen nicht mehr unmittelbar abh"angig sind. Die klassische Kurvendiskussion verliert weitgehend 
ihren Stellenwert, da sie fast ausschlie"slich auf die Beherrschung im Sinne einer korrekten Durchf"uhrung des 
Kalk"uls ausgerichtet ist. Au"serdem sind die im Unterrichtsalltag breit angelegten Kurvendiskussionen nur sehr 
eingeschr"ankt dazu geeignet, f"ur die Sch"ulerinnen und Sch"uler ein g"ultiges Bild von Mathematik zu erzeugen.

Wenn Sch"ulerinnen und Sch"uler durch einen derartigen Mathematikunterricht gepr"agt werden, werden sie mit 
anderen Kompetenzen  als bisher die Schule verlassen und die Universit"at besuchen. Hierauf muss sich auch die 
Universit"at neu einstellen.
\end{small}

\begin{thebibliography}{9}
\item
Nieders"achsisches Kultusministerium, Empfehlungen f"ur den Mathematikunterricht an 
Gymnasien, MK 1998

\item
Henn, H.-W., Schulversuche zum Einsatz von CAS in Baden-W"urttemberg, mathematica 
didactica, vol. 2, p. 18-27, 1996

\item
Landesinstitut f"ur Schule und Weiterbildung, Mathematik mit CAS, Der Schulversuch in NRW, 
Soest 1998, \URL{http://www.learn-line.nrw.de}

\item
S"achsisches Staatsinstitut f"ur Bildung und Schulentwicklung, 
Comenius-Institut, \URL{http://marvin.sn.schule.de/\~{}ci}/

\end{thebibliography}

\begin{flushright}
Heiko Knechtel (B"uckeburg, \Mail{HKnechtel@aol.com}))
\end{flushright}

\vspace*{4mm}
\hrule

\UnterAbschnitt{\centerline{The Dutch Perspective}}{P. Drijvers, The Dutch Perspective}{Dutch}

\noindent
Computer algebra has been an issue in mathematics education in the
Netherlands for some years already. This does not imply that the discussion
on this phenomenon has resulted in an agreement; no consensus on the role of
computer algebra in the mathematics classroom has emerged so far.

Below, I describe some recent developments in my country from a personal
perspective. I confine myself to mathematics education at upper secondary,
pre-university level. 
%% As far as the university level is concerned, I refer
%% to the Internet site of Computer Algebra Netherlands
%% (\url{www.riaca.win.tue.nl/can/}), that provides information on the use of
%% computer algebra in academic education. 

Firstly, I describe the Dutch situation concerning curriculum and
assessment. Secondly, I briefly consider the first educational experiments
with computer algebra. Thirdly, the rise of the graphics calculator is
discussed. In the end, computer algebra comes into the picture again, but now
in a hand-held format. I conclude with an imaginary jump into future.

Understanding the developments in my country requires some knowledge of the
organisation of the curriculum and assessment.

As far as the curriculum is concerned, it is important to notice that there
is no detailed curriculum that prescribes which topic should be taught when.
The curriculum is defined by a description of skills and concepts that will
be assessed by the end of secondary school; the schools are free to choose
how they get there. They can also decide on the textbooks they want their
students to use. It is because of this relative freedom that the final
assessment is so important.

The final assessment at upper secondary level consists of two parts: a
school set assessment and a final national examination that is externally
set and internally graded. This national examination is very important for
the implementation of technology; if a certain technology device is not
allowed at the final examination, it will not easily become popular in the
classroom. The current regulation is that the graphics calculator is
required at the final examination, whereas computer algebra is excluded. Two
arguments guided this legislation. Firstly, it would be hard to organize a
national examination throughout the country with computer access for all the
candidates; hand-held computer algebra was not yet available. Secondly, the
financial aspect was important. If computer access was required at the final
examination, schools would need money to buy them, whereas hand-held
technology devices are supplied by the students themselves.

For the school assessment, the authorities recommend the use or partial use
of a computer, but again, the schools are free to decide. I have the
impression that the number of schools that use a computer in their
examination is increasing. The computer is often used in combination with
investigation tasks where a written or oral report forms the assessment.

Obviously, the Dutch policy on technology is a careful one. Information
about the different strategies concerning technology use and assessment in
other countries can be found in \cite{Drijvers1998}.

The first project on computer algebra at upper secondary level started in
1990. The idea of this two-year project was to develop short instructional
units that were tested in pilot schools. Although the production of these
materials was useful, the project as a whole was not very successful. This
was caused by the lack of computer facilities at schools and by the
difficulties students had with the user friendliness: they had little
`computer literacy' and a windows interface was not available. Obviously,
the time was not yet ripe for the implementation of computer algebra at this
level.

By the end of this project, a group of volunteering teachers decided to
continue the work. This group, called CAVO, existed until 1998 and was a
lively and important platform for further development and discussion
(see \cite{DrijversVerweijVanWinsen}). 
In the mean time, however, the graphics calculator came on the
market, and attracted much attention.

The development of the graphics calculator elicited discussion on which
technology platform should be used in secondary education (see 
\cite{Drijvers1994}). The
Dutch authorities decided that the implementation of the graphics calculator
would be the first step to take. Therefore, they supported a research
project on this issue in 1992. This project was carried out by the
Freudenthal Institute, a research group on mathematics education. Later it
became an integrated part of a larger curriculum development project called
Profi. Results of the Profi-project included student textbooks that
integrated the use of the graphics calculator, and experimental examinations
that required the availability of a hand-held graphing device. The role of
the graphics calculator in this project is summarized in \cite{DrijversDoorman}.

Some educators and teachers were, however, opposed to the implementation of
the graphics calculator. Their arguments were that computer algebra is a
much more sophisticated mathematical tool, and that a graphics calculator is
only a temporary step backwards compared to the possibilities that PC's
offer. In 1996, however, a questionnaire revealed that PC's were hardly ever
used during mathematics lessons, although they were available in schools.
This supports the idea that real implementation of technology requires that
the student has direct access to the device. The limited mathematical power
of the graphics calculator is not an important disadvantage: it allows
teachers, textbook authors and examination boards to have sufficient time to
carefully integrate a graphical and numerical tool without having to cope
with computer algebra in the mean time. 

The choice of the graphics calculator may be a temporary preference indeed:
the symbolic calculator raises the issue again.

Nowadays, computer algebra is also available in a hand-held format. A first
pilot experiment using the TI-92 revealed that the students appreciated this
machine as an `algebraic calculator', but not so much as a dynamic geometry
tool \cite{Drijvers1997b}.

When the Dutch Association of Mathematics Teachers became aware of the
possible impact of symbolic calculators on secondary mathematics education,
an Advisory Board on Computer Algebra and Symbolic Calculator was formed. In
May, 1998, this Board concluded that:
\begin{itemize}
\item[--]
computer algebra should be implemented in upper secondary education;
\item[--]
research was needed in order to find answers to the pedagogical and
curriculum issues that will be raised by this;
\item[--]
as a computer algebra platform, the PC would be preferred to the symbolic
calculator, at least in the long term.
\end{itemize}
For the full report of the Board (in Dutch!) I refer to the Dutch
Association of Mathematics Teachers site: \URL{www.euronet.nl/\~{}nvvw/}.

In the fall of 1998, the Freudenthal Institute conducted an explorative case
study using the symbolic calculator. This machine turned out to be quite
useful in investigation tasks. The sophisticated use of variables and
parameters, however, was not always clear to the students. Furthermore, some
students were reluctant to use computer algebra for the application of
techniques that they had not yet mastered manually.

At present, many research questions concerning the role of computer algebra
in secondary education are still unanswered (see \cite{Drijvers1997a}). 
No decisions on its
implementation in the Netherlands have been made so far. In the next few
years, I expect three developments to take place.

Firstly, teachers, examination boards and school book authors will get used
to the graphics calculator and will take advantage of the pedagogical
possibilities that these devices offer. 

Secondly, research will be carried out concerning the role of computer
algebra in the learning of mathematics and, more specifically, in the
learning of algebraic concepts. Such a study was started recently by the
Freudenthal Institute.

Thirdly, research will be carried out on the possibilities of computer
algebra as a wide-range technology tool. A project that focuses on the use
of a computer algebra environment in combination with a text editor (to
write mathematical reports) and an Internet browser has been started at the
Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, an institute for improvement of
(mathematics) education.

It is my hope that these developments will lead to a carefully considered
implementation of computer algebra in secondary education.

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{rundbrief2-99}

\begin{flushright}
Paul Drijvers (Freudenthal Institute, Utrecht, Niederlande, 
\Mail{P.Drijvers@fi.uu.nl})
\end{flushright}

\noindent
Der Artikel von Paul Drijvers ist ein Vorabdruck aus
\begin{quote}
J. Grabmeier, E. Kaltofen, V. Weispfenning (Eds.)\\
Handbook of Computer Algebra \\
Springer, 2000\\
\URL{http://www.springer.de/math/prep/compalg.html}
\end{quote}
Wir bedanken uns bei den Herausgebern f"ur die freundliche Erlaubnis.
\begin{flushright}
Heiko Knechtel (B"uckeburg, \Mail{HKnechtel@aol.com})
\\
Wolfram Koepf (Leipzig, \Mail{koepf@imn.htwk-leipzig.de})
\end{flushright}




%%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%           Netzinformationsdienste                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\Abschnitt{Netzinformationsdienste zu Mathematik und Computeralgebra}{Netzdienste zu Mathematik und Computeralgebra}{infoca}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Berichte "uber Arbeitsgruppen                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\Abschnitt{Berichte "uber Arbeitsgruppen}{Berichte "uber Arbeitsgruppen}{BerAGs}


% \UnterAbschnitt{ALT!! Computeralgebra an der Universit"at Leipzig}{ALT!! Computeralgebra an der Universit"at Leipzig}{caLeipzig}

% \bigskip

% Aus einer urspr"unglich umfangreicheren Arbeitsgruppe um Prof.
% Wolfgang La"sner besch"aftigen sich an der Fakult"at f"ur Mathematik
% und Informatik der Universit"at Leipzig heute noch PD Dr. Joachim Apel
% (Mathematisches Institut) und PD Dr. Hans-Gert Gr"abe (Institut f"ur
% Informatik) unmittelbar mit Themen aus dem Bereich des Symbolischen
% Rechnens.
% ...
% \medskip

% \begin{flushright}
% Joachim Apel, Hans-Gert Gr"abe (Leipzig)
% \end{flushright}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Publikationen                                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage  \vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Publikationen "uber Computeralgebra}{Publikationen "uber Computeralgebra}{publ}

\begin{itemize}


\item {Becker, T., Weispfenning, V.}, { \sl  Gr\"obner Bases -- A Computational Approach to Commutative Algebra, korrigierter Neudruck}, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 141,  {\Springer}, {\ASpringer}, ISBN 3-540-97971-9, 1998


\item {Jungnickel, D.}, { \sl  Graphs, Networks and Algorithms}, {\Springer}, {\ASpringer}, ISBN 3-540-63760-5, 1999, pp. 589, 98 DM.
 
Das Buch wird in diesem Rundbrief auf Seite \pageref{jungnickel} besprochen.
 
\item {Kerber, A.}, { \sl Applied Finite Group Actions (2nd edition, revised and expanded)}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-65941-2}, {1999}. 
 
\item {Koblitz, N.}, { \sl Algebraic Aspects of Cryptography}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-63446-0}, {1998}, DM 98,-. 
 
Das Buch wird in diesem Rundbrief auf Seite \pageref{koblitz} besprochen.

\item {Kress, R.}, { \sl Linear Integral Equations}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 0-387-98700-2}, {1999}, DM 120,-. 
 
\item {Matzat, B.H., Greuel, G.-M., Hiss, G., (Eds.)}, { \sl Algorithmic Algebra and Number Theory}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-64670-1}, {1999}. 
 
\item {Mignotte, M., Stefanescu, D.}, { \sl Polynomials - an algorithmic approach}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 981-4021-51-2}, {1999}, DM 98,-. 

Das Buch wird in diesem Rundbrief auf Seite \pageref{Mignotte} besprochen.
 
\item {Peth"o, A.}, { \sl Algebraische Algorithmen (herausgegeben von Michael Pohst)}, {\Vieweg}, {\AVieweg}, {ISBN 3-528-06598-2}, {1999}. 
 
\item {von zur Gathen, J., Gerhard, J.}, { \sl Modern Computer Algebra}, {Cambridge University Press}, {Cambridge}, {ISBN 0-521-64176-4}, {1999},

\item {Teske, E. E.}, { \sl New Algorithms for Finite Abelian Groups}, {Shaker Verlag}, {Aachen}, {ISBN 3-8265-4045-X}, {1999}, {pp. 173}, 94,00 DM. 

\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage  

\Abschnitt{Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra}{Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra}{buchbespr}

%\begin{itemize}
\vspace*{5mm}
\UnterAbschnitt{Wolff, Manfred, Gloor, Oliver, Richard, Christoph\\
Analysis Alive - Ein interaktiver Mathematik-Kurs
}{Wolff, Gloor, Richard, Analysis Alive}{Analysis}


Birkh\"{a}user, Basel, ISBN 3-7643-5966-8, pp 392 mit CD-ROM, DM 68\\


Analysis Alive ist kein Buch, sondern eine ,,Medienkombination'' (so die
Bezeichnung des Verlags) bestehend aus einem gedruckten Buch und einer CD.
Beide Teile dieser Kombination, Buch und CD, sind ausgesprochen gut
gestaltet, sowohl inhaltlich wie auch \"{a}sthetisch: Es macht Freude sich
mit Analysis Alive zu besch\"{a}ftigen! Die CD enth\"{a}lt viele
Visualisierungen, oft Animationen, mathematischer Sachverhalte; dies
geschieht mit Hilfe des Computeralgebraprogramms Maple, von dem eine Demo-
und eine zeitliche befristete Testversion der CD beigef\"{u}gt ist.
Wirklichen Nutzen wird aber nur derjenige ziehen, der auch \"{u}ber eine
Maple-Lizenz, z.B. die preiswerte Student Edition, verf\"{u}gt, da er dann
eigene Varianten der Beispiele ausf\"{u}hren kann. Der Inhalt:

Folgen und Reihen

Einf\"{u}hrung in die reellen Funktionen

Differentialrechnung

Integralrechnung einer Ver\"{a}nderlichen

Normierte Vektorr\"{a}ume

Funktionen mehrerer Ver\"{a}nderlicher

Differentialrechnung in mehreren Ver\"{a}nderlichen

Integration in mehreren Ver\"{a}nderlichen

Der behandelte Stoffumfang ist beachtlich; dabei mu\ss ten die Autoren eines
400-Seiten-Buches naturgem\"{a}\ss\ Kompromisse eingehen. Ihre Darstellung
ist knapp, aber klar und pr\"{a}zis. Zu kurz kommen die Motivation f\"{u}r
die verschiedenen Begriffsbildungen und deren Anwendungen. Das Buch eignet
sich daher nach Meinung des Reszensenten nicht zum Selbststudium, als
Begleittext zu einer Lehrveranstaltung f\"{u}r Mathematiker, Physiker und
Informatiker ist es dagegen ausgezeichnet geeignet. Auch derjenige, der nur
ein knappe und klare Darstellung der Analysis zum Nachschlagen sucht, etwa
Lehrer der gymnasialen Oberstufe, ist gut bedient, zumal letztgenannter
Leserkreis viele anregende Visualisierungen zur Unterrichtsgestaltung
vorfindet. Ingenieurstudenten oder Naturwissenschaftler werden durch die
eher theoretisch orientierte Darstellung weniger angesprochen werden; viele f%
\"{u}r die  Anwendungen wichtige Themen kommen einfach zu kurz, so wird etwa
die Laplace-Transformation auf weniger als zwei Seiten behandelt.

Analysis Alive erwartet vom Leser keinerlei Kenntnisse \"{u}ber das
Computeralgebra-Programm Maple; die Beispiele sind so konzipiert und
programmiert, da\ss\ sie von jedem nachvollzogen werden k\"{o}nnen. Das Buch
selbst enth\"{a}lt keinerlei Maple-Code; Computeralgebra wird bewu\ss t und
konsequent nur als Werkzeug zum leichteren Erlernen von Mathematik benutzt.
Es ist kein Ziel des Buches, irgendwelche Computeralgebra-Kenntnisse zu
vermitteln.

Alles in allem: Analysis Alive ist ein sehr empfehlenswertes Mathematikbuch,
das viel bietet.  Man mu\ss\ aber akzeptieren, da\ss\ man nicht gleichzeitig
den Umfang auf rund 400 Seiten begrenzen und jeden Teilaspekt eines Themas
behandeln kann.  Selbst die CD alleine mit ihren zahlreichen ausgefeilten
Visualisierungen der Analysis rechtfertigt die Anschaffung dieser gelungenen
,,Medienkombination''! Diese Aussage soll jedoch nicht die Qualit\"{a}t des
Partners ,,Buch'' in dieser Medienkombination schm\"{a}lern.

\begin{flushright}
  Wilhelm Werner (Heilbronn)
\end{flushright}

\newpage
\UnterAbschnitt{{Jungnickel, Dieter}\\
Graphs, Networks and Algorithms
}{Jungnickel, Networks and
Algorithms}{Networks}

\label{jungnickel} 
Springer, Berlin, ISBN 3-540-63760-5, 1999, pp.\ 589, 98 DM.\\

Das vorliegende Buch erschien nun als f"unftes der Springer-Reihe
{\sl Algorithms
and Computation in Mathematics}, welche von E. Becker, M. Bronstein, H.
Cohen,
D. Eisenbud und R. Gilman herausgegeben wird. Allerdings handelt es sich
hierbei nicht um ein g"anzlich neues Buch, sondern im wesenlichen um
eine
englische "Ubersetzung der dritten Auflage (1994) des in deutscher
Sprache
bei BI (inzwischen: Spektrum Akademischer Verlag) erschienenen Buchs
{\sl Graphen, Netzwerke und Algorithmen}.

Von einem algorithmischen Standpunkt aus gibt
{\sl Graphs, Networks and Algorithms} eine Einf"uhrung in die
Grundbegriffe der Graphentheorie und der graphentheoretisch
formulierbaren
Probleme der kombinatorischen Optimierung. Jeder Algorithmus wird in
Pseudo-Code dargestellt und auf seine asymptotische Komplexit"at hin
untersucht. Der Autor macht klar, da"s eine Komplexit"atsanalyse von
den verwendeten Datenstrukturen abh"angig ist und bezieht diese immer
in seine Ausf"uhrungen mit ein.

Die folgenden Themen werden behandelt: K"urzeste Wege, aufspannende
B"aume, Greedy-Algorith\-men, Fl"usse, bipartite Graphen, Zirkulationen,
F"arbungen, Zusammenhangsfragen und Matchings. Das letzte Kapitel
behandelt dann schlie"slich als typisches NP-vollst"andiges Problem das
TSP
(Traveling Salesman Problem = Problem des Handlungsreisenden). Hier
werden sowohl praktikable Algorithmen zur Auffindung der besten Tour
als auch solche zur Bestimmung guter N"aherungsl"osungen diskutiert.

Das Buch enth"alt L"osungshinweise zu den zahlreichen "Ubungsaufgaben
und
einen ausf"uhrlichen Index. Es sollte (in der deutschen
oder in der englischen Fassung) in keiner B"ucherei fehlen.

\begin{flushright}
Wolfram Koepf (Leipzig)
\end{flushright}

\UnterAbschnitt{Mignotte, Maurice, \c Stef\u anescu, Doru\\
Polynomials:
An Algorithmic Approach}{Mignotte, \c Stef\u anescu, Polynomials: An Algorithmic Approach}{Mignotte}

Springer, Singapore, ISBN 981-4021-51-2, 1999, pp.\ 306, 98 DM.\\


Ich mu"s zugeben, da"s ich mir unter diesem Titel ein anderes
Buch vorgestellt habe. In einem Buch, das eine algorithmische Theorie
der Polynome verspricht, habe ich unzweifelhaft (auch) die Betrachtung
von Gr"obnerbasen und ihren Anwendungen vermutet. Der Autor sagt hierzu in
der Einleitung: \glqq We left out on purpose several topics, for which an 
extensive literature is available, such as [\ldots] and Gr"obner bases
(T. Becker--V. Weispfenning, W. W. Adams--P. Loustaunau).'' Schade!

Das Buch behandelt Polynomalgorithmen und ist zum Einsatz in der Lehre
gedacht. Die Autoren beschr"anken sich hierbei
im wesentlichen auf univariate Polynome. Besonders ausf"uhrlich
wird die Faktorisierung ganzzahliger Polynome besprochen (Kapitel 4);
man kann sagen, das Buch gipfelt in der Faktorisierungstheorie. 
Hierbei werden sowohl der Berlekamp-Zassenhaus-Algorithmus 
mit Hensel-Lifting als auch der asymptotisch schnelle 
LLL-Algorithmus (Lenstra, Lenstra, 
Lov\'asz) durchgenommen. Als Vorbereitung hierf"ur werden in Kapitel 3 
Polynome mit Koeffizienten in endlichen K"orpern und in Kapitel 2
Eigenschaften, insbesondere a-priori-Absch"atzungen, von komplexen Polynomen
behandelt.

Das erste Kapitel enth"alt die grundlegenden Algorithmen zur Berechnung
von gr"o"sten gemeinsamen Teilern, Pseudodivision, Resultanten, von
Interpolationspolynomen usw.\ und behandelt beispielsweise die Darstellung 
symmetrischer Funktionen.
Alle Algorithmen werden in Pseudocode dargestellt, und es werden
Komplexit"atsbetrachtungen durchgef"uhrt.

Leider enth"alt der Text nur wenige Beispiele. Jeder Algorithmus wird an 
{\em einem} \glqq kleinen'' Beispiel, das auch der Handberechnung zug"anglich 
ist, exemplarisch vorgef"uhrt. Daf"ur sind
insgesamt 288 "Ubungsaufgaben zu bearbeiten. Der Titel des Buchs
ist sicherlich ungeschickt gew"ahlt. Wer sich aber f"ur die Faktorisierung
von Polynomen interessiert, wird das Buch mit Interesse und Gewinn lesen.

\begin{flushright}
Wolfram Koepf (Leipzig)
\end{flushright}


\UnterAbschnitt{Kamerich, Ernic\\
A Guide to Maple
}{Kamerich, A Guide to Maple}{Maple}

Springer Verlag, New York, 1998,
ISBN 0-387-94116-9, HC DM 69.\\

{%\footenotesize
Auf dem Buchr"ucken wird der Inhalt bereits recht treffend
folgenderma\ss{}en beschrieben:\\
Das vorliegende Buch hat das Ziel, den Leser schnell und umfassend
in die Benutzung von Maple und seinen vielf"altigen M"oglichkeiten
einzuf"uhren. Es soll ihm einen gewissen Standard vermitteln, ihm aber auch beriets den Gebrauch weiterf"uhrender, mehr spezialisierter Techniken
erm"oglichen. Die Verl"asslichkeit der Ergebnisse wird dabei
systematisch untersucht, und es werden Wege aufgezeigt, wie man Resultate
auf ihre Korrektheit "uberpr"uft,
 
Die ersten f"unf Kapitel (basic elements, numbers and operators,
names and evaluation 1, elementary calculus, names and evaluation 2)
bilden die Grundlage des Buches, der Leser erh"alt in ihnen einen
raschen Einstieg in den Gebrauch von Maple. Bereits hier f"allt auf,
dass der Autor neben einem systematischen Aufbau der Maple-Objekte, ihrer
Bedeutung und dem Umgang mit ihnen stets auch die Anwendungen in
speziellen Fachgebieten im Auge hat. Dies ist etwas gew"ohnungsbed"urftig,
lockert die Darstellung daf"ur angenehm auf. Dass elementare Analysis
zu den Grundlagen z"ahlt, lineare Algebra hingegen nicht, ist f"ur den
deutschen Markt vielleicht nicht so g"unstig.
 
Der Aufbau von Maple nebst Anwendungen wird in den anschlie\ss{}enden
Kapiteln fortgesetzt (mathematische Funktionen, Graphik, Reihenentwicklungen,
Numerik, Manipulation mehrerer Objekte gleichzeitig (?), Substitution,
Manipulation von Zahlen, Polynome und rationale Ausdr"ucke). Die
letzte "Uberschrift macht deutlich, dass der Autor es mit den mathematischen
Objekten, die behandelt werden, nicht immer ganz genau nimmt. Dies ist
nat"urlich in erster Linie eine Schwachstelle von Maple, das einem 
mathematischen Elementim allgemeinen keinem entsprechenden Bereich
(Gruppe, Ring, Modul, K"orper) zuordnet, indem mit ihm nach fest
vorgegebenen Regeln gerechnet werden kann. "Uberdeutlich wird dies
bei der Behandlung von Parametern und deren Spezialisierungen.
 
Weiter geht es im Inhalt mit Polynomgleichungen und
Polynomfaktorisierungen, Manipulation algebraischer Objekte (!),
L"osung von Gleichungen und Ungleichungen, L"osung von
Differentialgleichungen, Vektoren und Matrizen. 
%In insgesamt f"unf
%Anh"angen wird auf spezielle Strukt praktisch nichts.
%(in der Mail unvollst"andig, uSchw)
 
Bereits kurz angesprochen wurden die intensiven Bem"uhungen
des Autors, Ergebnisse auf ihre Verl"asslichkeit hin zu "uberpr"ufen.
Dies ist ein wesentliches Element des vorliegenden Buches
und mit Sicherheit ein sehr verdienstvolles Unterfangen. Leicht
getr"ubt wird dieser Eindruck durch Standardbemerkungen an den
Kapitelenden wie ''arbeitet in der Regel korrekt'' (?).
 
Insgesamt betrachte ich das Buch als einen gelungenen Einstieg
in den Gebrauch von Maple. Bereits zu Beginn erh"alt der Leser
eine ''Short Reference List'' der wichtigsten Aufrufe. Es gibt eine gro\ss{}e
Anzahl von hilfreichen Querverweisen. (Vorsicht: Verweise auf
sehr viel sp"atere Seiten differieren dank TEX um eine Seite.)
Wichtige Dinge (etwa: Gebrauch von Digits) werden zum Teil mehrfach
kurz erkl"art, was f"ur eine Vertiefung g"unstig ist. Mittels eines
''Catchword Index'' kommt man leicht an gew"unschte Informationen.
"Uber weiterf"uhrende Bereiche wird allerdings nur wenig oder gar nichts
gesagt (etwa: Galois groups).

}

\begin{flushright}
Michael Pohst (Berlin)
\end{flushright}
 


\UnterAbschnitt{Koblitz, N.,\\
 Algebraic Aspects of Cryptography}{Koblitz, Algebraic Aspects of Cryptography}{Koblitz}

Band 3 der Reihe {\em Algorithms and Computations in Mathematics},
Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1998, ISBN 3-540-63446-0,
pp. 206, DM 98.\label{koblitz} \\


Der Autor, der durch seine B"ucher ``Introduction to Elliptic Curves
and Modular Forms'' (GTM 97, Springer 1984) und ``A Course in Number
Theory and Cryptography'' (GTM 114, Springer 1987) vielen Lesern
dieses Rundbriefs gut bekannt sein wird, hat hier ein kleines Werk
vorgelegt, das man wohl am Besten als ``Lesebuch zu algebraischen
Aspekten der Kryptographie mit "offentlichem Schl"ussel''
charakterisieren kann.

Bis Mitte der 70er Jahre (der Autor setzt den Schnitt im Jahr 1976)
spielten derartige Verfahren in der Kryptographie im Vergleich zu
symmetrischen Verfahren bekanntlich eine untergeordnete Rolle. Dies
"anderte sich erst unter dem Druck verschiedener
Computeranwendungsm"oglichkeiten.  Die generelle Aufgabenstellung f"ur
den Entwurf eines Kryptosystems mit "offentlichem Schl"ussel kann man
wie folgt formulieren: Es ist eine (injektive) Funktion $f:\
X\longrightarrow\ Y$ von der Menge der Quelltexteinheiten $X$ in die
Menge $Y$ der verschl"usselten Nachrichteneinheiten zu entwerfen, die
f"ur alle $x\in X$ einfach zu berechnen ist, f"ur die aber $f^{-1}(y)$
f"ur die meisten $y\in im(f)$ ohne zus"atzliche, "offentlich nicht
zug"angliche Information nicht mit zumutbarem Aufwand zu ermitteln
ist.  Allerdings soll es eine geheime Zusatzinformation, den privaten
Schl"ussel, geben, mit dessen Hilfe auch die Umkehraufgabe, das
Dechiffrieren, einfach wird.

Viele schwierige mathematische Probleme gaben bisher Anlass f"ur
sichere oder vermeintlich sichere Verschl"usselungsverfahren.  Die von
einer Kryptanalyse zu beantwortenden Fragen sind dabei vor allem
komplexit"atstheoretischer Natur.  Allerdings fortgeschrittener Art,
denn die Existenz eines privaten Schl"ussels legt die Frage nahe, ob
man nicht durch geschickte Kombination "offentlich erzeugbarer
Zusatzinformationen diesen Schl"ussel doch irgendwie berechnen kann.
Die ``Code-Knacker'' setzen gerade hier an.

Da sich damit in der Kryptanalyse die gesamte Mathematik wie in einem
Brennglas sammelt, wird man in einem B"uchlein wie dem des Autors
immer nur einen kleinen Ausschnitt dieses gro"sen Gebiets einfangen
k"onnen.  Der Autor hat hierf"ur drei Themenkreise (Monomsysteme,
polynomiale Gleichungssysteme und Verallgemeinerungen des
Diffie-Hellman-Verfahrens auf elliptische und hyperelliptische Kurven)
mit algebraischem Hintergrund gew"ahlt, die bisher nicht in
monographischer Form vorlagen.

Das Buch kann man grob in zwei (auch umfangm"a"sig etwa gleich gro"se)
Teile teilen. Im ersten Teil (Kap. 1 -- 3) werden wichtige Begriffe
und Zusammenh"ange der im Weiteren ben"otigten mathematischen und
kryptographischen Grundlagen erl"autert und teilweise bewiesen.  Der
Umfang dieses Teils ist vor allem einer recht detaillierten Darlegung
algorithmischer Aspekte geschuldet.  Diese f"ande man zwar auch
anderswo, jedoch gewinnt das Buch damit selbst f"ur fortgeschrittene
Studenten eine gewisse Abgeschlossenheit.  Ein Teil des Materials
wurde (f"ur den flei"sigen Leser) in eine F"ulle von "Ubungsaufgaben
ausgelagert, zu denen im Anhang L"osungen bzw.  L"osungshinweise
enthalten sind.

Der erste Teil umfasst im Einzelnen eine Tour durch kryptographische
Fragen (Aufgabenstellung und Geschichte; das RSA-Kryptosystem; der
Ansatz von Diffie-Hellman zur Verwendung von Logarithmus-Abbildungen;
Anwendungen auf digitale Signaturen, Passw"orter, Auswertung
verdeckter Information), die Diskussion relevanter
Komplexit"atsklassen (polynomial vs. exponentiell; P, NP und NP-hart;
Berechnungsaufgaben mit Zusatzinformationen; probabilistische
Verfahren) an Beispielen aus Kombinatorik und Zahlentheorie sowie
Fragen aus der Theorie endlicher K"orper (Existenz- und
Eindeutigkeitssatz; konstruktive Aspekte) und der Polynomringe (bis
hin zu Hilberts Nullstellensatz, S-Polynomen und Gr"obnerbasen). 

Im zweiten Teil wird der Leser, begleitet von Alice, Bob und
Catherine, durch die bereits oben genannten drei Themenkreise
gef"uhrt.  Der Autor legt gro"sen Wert auf eine ausf"uhrliche und
verst"andliche Darlegung des jeweils betrachteten kryptographischen
Verfahrens, das in den zugeh"origen "Ubungsaufgaben weiter vertieft
werden kann.  Die Kryptanalyse erfolgt in der Regel von einer einfach
zu brechenden Variante aus, die sich verst"arken, aber mit mehr
Einsatz von Mathematik auch wieder brechen l"asst.  Der dabei
gezeichnete Weg f"uhrt von einer guten Stra"se "uber unebenes Gel"ande
bis hin zum Dickicht moderner Forschungen und (noch) ungel"oster
Fragen.

Kap. 4 befasst sich mit dem Imai-Matsumoto-System. Die Idee des
Systems besteht darin, die Abbildung $u\mapsto u^h$ zum Verschl"usseln
zu verwenden, wobei $u$ aus einer endlichen Erweiterung von ${\bf
F}_q$ stammt. Zus"atzlich werden affine Transformationen vor- und
nachgeschaltet, um ``die Spuren zu verwischen''. F"ur geeignete
Exponenten $h$ (Summen von wenigen $q$-Potenzen) l"asst sich daraus
ein polynomiales Kodierungssystem herleiten. Die Kryptanalyse zeigt,
dass in einigen F"allen aus diesen Gleichungen die Existenz bilinearer
Gleichungen folgt, die man zum Kodebrechen mit linearer Algebra
verwenden kann. 

Kap. 5 befasst sich mit dem ``Polly Cracker''.  Hierbei ist $X=F$ ein
K"orper und $Y=F[T_1,\ldots,T_n]$ ein Polynomring.  Eine Nachricht
$x\in X$ wird durch ein zuf"alliges Polynom $p\in I(B)$ bzgl. eines
("offentlich bekannten) Polynomsystems $B\subset Y$ zu $c=x+p$
verf"alscht.  Die Dechiffrierung erfolgt mit Kenntnis einer (geheimen)
Nullstelle $y\in F^n$ von $B$.  Die Kryptanalyse muss also
feststellen, wie schwierig es ist, eine solche Nullstelle allein aus
den Gleichungen $B$ zu bestimmen.  Hierzu werden Gleichungssysteme
betrachtet, die sich aus verschiedenen NP-harten kombinatorischen
Problemen ableiten lassen, womit das Erstellen eines solchen Systems
in {\bf P}, sein Knacken aber (wahrscheinlich) in {\bf NP} liegt.
Abschlie"send wird eine Verallgemeinerung des Polly Crackers
betrachtet, wo $X$ eine Teilmenge der Standardmonome bzgl. $I(B)$ ist.
Der Autor folgt den Argumenten von T. Mora (1993), der vermutet, dass
es mit Blick auf intelligente Attacken mit linearer Algebra einen
solchen ``Krypto-Gr"obner'' nicht geben kann.

Kap. 6 ist schlie"slich Kryptosystemen auf der Basis elliptischer und
hyperelliptischer Kurven gewidmet.  Diese basieren auf der Idee von
Diffie-Hellman, die auf die additive Gruppe der Kurve (im elliptischen
Fall) bzw. deren Jacobischer (im hyperelliptischen Fall) angewendet
wird.  Damit vergr"o"sert sich der Fundus von Gruppen, wo man die
Anwendung der genannten Idee studiert hat, betr"achtlich.  Die
Ausf"uhrungen beginnen mit einer Zusammenstellung der wichtigsten
Fakten aus der Theorie elliptischer Kurven, die im weiteren ben"otigt
werden. Es schlie"st sich eine ausf"uhrliche Er"orterung verschiedener
Aspekte von Kryptosystemen an, die elliptische Kurven verwenden
(subexponentielles Verhalten des Originalverfahrens von Diffie und
Hellman f"ur $G={\bf F}^\ast_q$; Diskreter Logarithmus und
``schlechte'' Gruppenordnungen; ECDSA-Verfahren zur digitalen
Signatur; Auswahl ``guter'' Kurven und Probleme der klassischen
Zahlentheorie).  Im abschlie"senden Teil werden die Fragen auf
hyperelliptische Kurven "ubertragen. Wichtigstes neues Problem ist
dabei die effiziente Ausf"uhrung der Addition auf der Jacobischen, das
in einem Anhang (``An Elementary Introduction to Hyperelliptic
Curves'' von A.J. Menezes, Yi-Hong Wu und R.J. Zuccherato) abgehandelt
wird.

Mit zunehmender Schwierigkeit des Materials werden die Ausf"uhrungen
dabei skizzenhafter und beschr"anken sich immer st"arker auf den
Hinweis auf entsprechende Quellen, was den Charakter eines guten
``Lesebuchs'', wie ich es oben bezeichnet habe, ausmachen sollte.  Das
Buch eignet sich damit selbst f"ur ``advanced undergraduates'', wie es
im Klappentext hei"st, als Einstieg und erster "Uberblick "uber ein
Gebiet, in dem sich in den letzten Jahren auf "uberraschende Weise
praktische Anwendungsm"oglichkeiten f"ur tief innermathematische
Themen ergeben haben.

\begin{flushright}
Hans-Gert Gr"abe (Leipzig)
\end{flushright}




%\end{itemize}



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%%     Lehrveranstaltungen                                         %%
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\Abschnitt{Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im WS 1999/2000}{Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im WS 1999/2000}{lehrv}

\begin{itemize}


\item {\bf Rheinisch--Westf"alische Technische Hochschule Aachen}\\
{\em Fachdidaktisches Seminar: Computer im Geometrieunterricht}, U. Schoenwaelder,
U. Bettscheider, "U4\\
{\em Einf"uhrungspraktikum in das Formelmanipulationssystem Maple}, G. 
Hi"s, U. Klein, V. Dietrich, P2\\
{\em Praktikum: Programmieren in Maple}, G. Hi"s, U. Klein, P4\\
{\em Praktikum: Lineare Algebra mit Maple}, H. Pahlings, U. Klein, P2\\
{\em Arbeitsgemeinschaft zu speziellen Problemen mit Maple}, V. Dietrich, U. Klein, E. G"orlich, "U2

%\item {\bf Freie Universit"at Berlin}\\

%\item {\bf Technische Universit\"at Berlin}\\

\item {\bf Universit"at Bonn}\\
 {\em Computer-Algebra II}, A. Sch\"onhage, V4 + \"U2\\
 {\em Seminar Algorithmik, Komplexit\"at}, A. Sch\"onhage, S2

%\item {\bf Technische Hochschule Darmstadt}\\
%?? email-adresse

\item {\bf Universit"at Dortmund}\\
{\em Symbolisches Rechnen}, H. M. M"oller, V4 + "U2

%\item {\bf Technische Universit"at Dresden}\\

\item {\bf Universit"at Erlangen-N"urnberg}\\
{\em Zahlentheoretische und algebraische 
Grundlagen der Kryptographie II V2+"U2}, H. Meyn, V2

%\item {\bf Universit\"at Greifswald}\\

\item {\bf Technische Hochschule Hamburg-Harburg}\\
{\em   Diskrete Mathematik II}, K.-H.Zimmermann, A.Popp, V3+"U2\\
{\em   Programmieren in Maple}, K.-H.Zimmermann, A.Popp, "U1\\
{\em   Praktische Kryptographie}, K.-H.Zimmermann, A.Popp, "U2\\
{\em   Diskrete Mathematik III}, F. Mayer-Lindenberg, V2

\item {\bf Universit"at Hannover}\\
{\em Computeralgebra}, Hotje, V2

\item {\bf Martin-Luther-Universit"at Halle(Saale)}\\
{\em Mathematik mit Mathcad}, H.Benker, S2\\
{\em Wirtschaftsmathematik mit Mathematica und Maple}, H.Benker, V2+S2

\item {\bf Universit"at Heidelberg}\\
{\em Computeralgebra-Systeme und gew"ohnliche Differentialgleichungen}, A. Riede, V2 \\
{\em Algorithmische algebraische Geometrie}, G. Kemper, V4 + "U2 \\
{\em Computeralgebra zur Linearen Algebra 1}, A. Riede, P

\item {\bf Universit"at Kaiserslautern}\\
{\em Einf"uhrung in die Computer Algebra}, G.-M. Greuel, V2 + "U1\\
{\em Commutative Algebra}, G. Pfister, V2 + "U1\\
{\em Singularity Theory}, G. Pfister, V2 + "U1\\
{\em Primzahltests, Primfaktorzerlegung und Kryptographie}, 
A. Guthmann, V4 + "U2\\
{\em Oberseminar Singularit"atentheorie und Computeralgebra}, 
G.-M. Greuel, G. Pfister S2

\item {\bf P"adagogische Hochschule Karlsruhe}\\
{\em Algorithmen - von Hammurapi bis G"odel}, J. Ziegenbalg, V2\\
{\em Workshop:  Algorithmen / Informatik}, J. Ziegenbalg, HS2

\item {\bf Universit"at Karlsruhe}\\
{\em Praktikum Computer-Algebra,} T. Beth, C. Ballarin, J. Calmet, W. 
Geiselmann, M. R"otteler, P2\\
{\em Repr"asentation math. Wissens in der KI,} J. Calmet, C. Ballarin, S2

%\item {\bf Fachhochschule Karlsruhe}\\

%\item {\bf Gesamthochschule Kassel}\\

%\item {\bf Universit"at K"oln}\\

\item {\bf Hochschule f\"ur Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig}\\
{\em Codierungstheorie und Kryptographie,\/} Koepf, V2, "U2\\
{\em Programmieren in Mathematica,\/} Koepf, V1, "U1

\item {\bf Universit\"at Leipzig}\\
{\em Einf"uhrung in das Symbolische Rechnen}, H.-G. Gr"abe, V2 + S1 + P2\\
{\em Fachseminar Roboterkinematik}, H.-G. Gr"abe, S2

\item {\bf Universit"at Linz, Research Institute for Symbolic Computation}\\
{\em Einf"uhrung in die Computer-Algebra}, F. Winkler, V2+"U1\\
{\em Diskrete algorithmische Geometrie}, S. Stifter, V2\\
{\em Mathematikunterricht mit DERIVE}, B. Kutzler, V2\\
{\em Projektseminar (WS): Computer-Algebra}, F. Winkler, S2\\
{\em Projektseminar (WS): Proving and Solving over the Reals}, B. Buchberger, J. Schicho, S2\\
{\em Projektseminar (WS): Applications of Sheaf Theory}, B. Buchberger, J. Schicho, S2


\item {\bf Universit"at Mannheim}\\
{\em Computeralgebra}, Schlichenmaier, Seiler, Kredel, S2

\item {\bf Technische Universit"at M"unchen}\\
{\em Computeralgebra I}, M. Kaplan, V4 

\item {\bf Universit"at Oldenburg}\\
{\em Ganze Zahlen, Polynome und Matrizen}, W. Schmale, V4+ Ü2\\
{\em Seminar Algebra und Anwendungen (CA)}, W. Schmale , S2

\item {\bf Universit"at-Gesamthochschule Paderborn}\\
{\em Computeralgebra}, F. Schwarz, V4 + "U2\\
{\em Spezielle Kapitel der Computeralgebra}, B. Fuchssteiner, V2 + "U2\\
{\em MuPAD Seminar}, B. Fuchssteiner, S2

\item {\bf Universit"at Passau}\\
{\em Roboterkinematik}, V. Weispfenning, V3 \\
{\em Oberseminar Computeralgebra}, V. Weispfenning, S2


%\item {\bf Universit"at Rostock}\\

%\item {\bf Universit"at des Saarlandes Saarbr"ucken}\\

\item {\bf Universit"at T"ubingen}\\
{\em Spezifikation und Verifikation}, C. Schwarzweller, V2 +"U1

\item {\bf Universit"at Ulm}\\
{\em Computeralgebra Praktikum f"ur Physiker}, G.Baumann, V2+P4\\
{\em Klassische Mechanik mit Computeralgebra}, G.Baumann, V4+"U4

\item {\bf ETH Z"urich}\\
{\em Computer Algebra I}, T. Mulders, V2 + "U1


\end{itemize}

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%%     Kurze Mitteilungen                                          %%
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 \Abschnitt{Kurze Mitteilungen}{Kurze Mitteilungen}{mitteil}

 \begin{itemize}

\item{\bf ISSAC Steering committee}\\

Auf der diesj"ahrigen ISSAC in Vancouver fand eine Sitzung des 
Steering committees statt. Es schieden turnusm"assig aus:
    Bruce Char  und  Hoon Hong.
Neu ist als institutionelles Mitglied Rob Corless (SIGSAM) und neu 
gew"ahlt (als at large Mitglied) wurde George Labahn. Corless wurde 
zum Vorsitzenden gew"ahlt. Daher jetzt die Zusammensetzung des
Steering committees:
     Rob Corless (SIGSAM)      als Vorsitzender;
     Marc Giusti (Medicis)     jetzt wiedergew"ahlt f"ur drei Jahre;
     H.M. M"oller (FG CA)      Amtszeit bis Juli 2000;
     George Labahn  (at large) neu gew"ahlt;
     Barry Trager   (at large);
     David Saunders (at large).

\vspace{1em}

\item{\bf D21 -- eine branchen"ubergreifende Informationsindustrieinitiative}\\

Viele namhafte deutsche Unternehmen haben sich dem
Gr"undungsaufruf der IBM Deutschland angeschlossen und die
branchen"ubergreifende Initiative D21 \URL{http://www.initiatived21.de}
ins Leben gerufen. Ihr Ziel ist die engere Zusammenarbeit von
Wirtschaft, Politik, Gesellschaft und Wissenschaft, um der
Informationsgesellschaft in Deutschland zum Durchbruch zu
verhelfen. Ideen und Ziele der Initiative sind in dem Memorandum
{\sl Initiative D21}\\
( \URL{http://www.initiatived21.de/content/memorandum-d21.pdf} )
festgelegt, das am 07.07.99 Bundeskanzler Schr"oder,
der den Vorsitz im Beirat der D21 Initiative "ubernehmen wird,
vorgestellt.
Die folgenden Schwerpunktthemen stehen dabei im Zentrum:
\begin{itemize}
\item  Ordnungsrahmen und Zugang zum Internet
\item  Vorreiterrolle des Staates beim Einsatz moderner Technologien
\item  Bildung und Qualifikation
\item  F"orderung von Frauen in IT-Berufen
\end{itemize}
Am 27. Juli 1999 wurde dann in Stuttgart von 27 Gr"undungsmitgliedern
die {\sl Initiative D21 e.V.} ins Leben gerufen. Neben IBM geh"oren zu
den Gr"undungsmitgliedern unter anderen Alcatel SEL, AOK
Baden-W"urttemberg, Arthur D. Little, Canto Software AG, debis,
Dresdner Bank, EDS, Hewlett-Packard, Siemens und Preussag.  Zum
Vorsitzenden der Initiative wurde Erwin Staudt, Vorsitzender der
Gesch"aftsf"uhrung der IBM Deutschland GmbH, gew"ahlt.

Als erstes gro"ses Projekt steht das Thema
{\sl Internet-Klassenzimmer} an.
Dabei sollen Schulen und Sponsoren zueinander finden
k"onnen, damit das Ziel, da"s in jedem deutschen Klassenzimmer
ein internetf"ahiger PC steht soll, verwirklicht werden kann.

Zus"atzlich gibt es zur Zeit Kontaktaufnahme und Gespr"ache zwischen
verschiedenen Herstellern von \ca-Software und der IBM, damit auch
gleich \ca-Software  auf diesen Rechnern installiert werden kann.
Sobald sich diese Ideen, die von der Fachgruppenleitung unterst"utzt
werden, konkretisieren, werden wir weiter dar"uber berichten.

\vspace{1em}


\item{\bf UMS MEDICIS}\\

        MEDICIS is a french ''Unite Mixte de Service'' and is part
                of CNRS and the Ecole polytechnique.
        It's role is a centre of resources for computer algebra.

It can be used by anybody to solve scientific calculations with the tools of
computer algebra and symbolic computation. It can, in effect, put at your
disposal hardware resources, software and expertise.

In this way, MEDICIS can respond to your needs e.g.:\\
   - a need for a large central memory:
        2 machines in the cluster having 2 Gb of memory.\\
   - a need for a 64-bits architecture:
        8 Alpha-500 Mhz processors.\\
   - a need for parallel calculus:
        16 Pentium II-400 Mhz processors.\\
   - a need for computer algebra software:
       the current list which can be completed with your demands.\\
   - a need for contacts with knowledgeable users of computer algebra:
        already more than 200 users.

In total, there are\\
        - approximately 13 Ghz of CPU\\
        - 11 Gb of central memory\\
        - 12 up to date large software packages of computer algebra\\
        - a local 100 Mbs switched and secure network\\
        - a system-network-applications administrator\\
        - 200 experts and knowledgeable users,\\
who are available at your disposal.

To find out more, particularly about the activities of
     MEDICIS or to gain access,
see the WEB server of MEDICIS: \\
\URL{http://www.medicis.polytechnique.fr/medicis/cri-eng.html}

%Marc Giusti
%Director of UMS MEDICIS


% \item{\bf ALT!! Access to the Mizar Mathematical Library via Mathematica Notebook}

% There is a notebook for Mathematica 3.0 to access a part of the Mizar
% Mathematical Library. It supports currently the search for theorems on
% elementary set theoretic concepts by using several automated theorem provers.

% The notebook and the necessary Mathematica extension can be downloaded from

%         \URL{http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/\~{}ilf/mca.html}
% ...


%\item\fbox{\parbox{16cm}{

%\begin{center}
%{\Large \bf Assistant Professor in Computer Science -- ETH Z"urich ?}\\
%\end{center}

%}}



\end{itemize}


\newpage

\pagestyle{empty}

\newpage
\input{Aufnahmeantrag.tex}
%\addcontentsline{toc}{section}{\normalsize \bf 
%Aufnahmeantrag f\"ur Mitgliedschaft in der Fachgrup\-pe}%\toc_dotfill }

\pagestyle{plain}

\newpage
\input{CARimpressum.tex}
\addcontentsline{toc}{section}{\normalsize \bf 
Fachgruppenleitung Computeralgebra 1999-2002, Impressum}%\toc_dotfill }


\newpage
Werbeseite der Fa. Springer Verlag

\end{document}

